◆神奈川県 いわし さんからの解答。
単位球面U上に3点A, B, Cを無作為にとります。
（A, B, CがUのどの微小面積dsに含まれる確率も
ds/4πということ）
原点Oを中心としたままUを回転させて、
A(0, 0, 1), B(0, sinθ, cosθ)
(0≦θ≦π)とできます。
Bがθ〜θ＋dθの範囲にある確率をf(θ)dθとすると
です。
θ=θのとき、ABを直径とする球をVとします。
CがVの内部、面上、外部にあるとき、
△ABCはそれぞれ鈍角、直角、鋭角三角形となります。
UのVに含まれる部分U'の面積は
ですから、
θ=θのとき△ABCが鈍角三角形となる確率g(θ)は
です。すなわち、△ABCが鈍角三角形となる確率Pは
となります。
また、△ABCが直角三角形となるためにCが含まれるべきUの領域は、
面積=0より確率も0ですから、鋭角三角形となる確率Qは
Q=1−P=5/6 です。
◆出題者の ＠ＪＪＪＪＪＪ さんからのコメント。
いわし さん解答有難うございます。ところで、
＞θ=θのとき、ABを直径とする球をVとします。
＞CがVの内部、面上、外部にあるとき、
＞△ABCはそれぞれ鈍角、直角、鋭角三角形となります。
CがVの外部にあるときは、△ABCは必ずしも鋭角三角形にはならないのでしょうか？
◆愛知県 数楽家Ｃｒａｎｅ（西三数学サークル） さんからのコメント。
私もＪＪＪＪＪさんと同じ疑問を持っていました。
面倒臭さがりなのでまだ計算していませんが、「確率問題シリーズ」のAliceさん出題の
『鋭角三角形の確率』の「寄せられた解答」の私のコメント（多分最後）を見てください。
同じ発想で球面に置きかえればよいはずです。
球面上の場合はもちろん確定値の解が存在します。
◆岡山県 藤井 さんからの解答。
S2を単位球面とする。
XをS2上の３点を取る取り方全体集合とする。
取る順番は考えない。
そして、自然に決まる次の写像でX上に確率をいれる。
f:S2×S2×S2 → X
すなわち、部分集合 A⊂ X の確率を
f-1(A)⊂ S2×S2×S2
の確率と定義する。
この時、２点が同じ点である場合や２点が中心をはさんだ正反対にある場合の確率は０になる。
そこで、その場合を無視する。
まず１点 a∈ S2 を決める。
次に b∈ S2 を決める。
この時、c∈ S2 を決めて、３点 a, b, c で鋭角三角形になるには、c は次の３つの平面に囲まれた範囲にある必要がある。
(1) 点 A を通り、線分 AB に垂直な平面
(2) 点 B を通り、線分 AB に垂直な平面
(3) 線分 AB を通り、面 Oabに垂直な平面
この(1),(2),(3)はそれぞれ ∠A, ∠B, ∠C が鋭角であるための条件です。
また(3)は、いわし さんの解答の球 V の外側と同じです。
また、この時３点 a, b, c で鋭角三角形になる。
∠aOb を θ (0＜θ＜π) とすると c の取り得る範囲の面積は、
| 2π ( |
π ∫ θ/2 | sin x dx - 2 |
π ∫ (π-θ)/2 | sin x dx) |
となる。
これを、A, B を それぞれ S2 上を動かして積分すると、
| 4π*2π*2π |
π ∫ 0 | (cos θ/2 + 2 sin θ/2 - 1) sin θ dθ |
よって、鋭角三角形になる確率 p は
| p = |
32π3 (4π)3 | = |
1 2 |
◆愛知県 juin さんからの解答。
平面内の円周上に任意の３点をとったとき、鋭角三角形ができる確率が１／４となることを使う。
S2:２次元球面とする。
Ω＝S2×S2×S2とし、
S2上の面積に比例した確率Pを入れる。
Δ＝{(A,B,C)∈Ω|△ABCが鋭角三角形になる}とする。
P(Δ)を求める。
以下、S2として、中心O(0,0,0),半径1 の球面とする。
点D:D ∈S2とする。
Δをスライスして次のようにな集合にわける。
X(D)={(A,B,C)∈Δ|△ABC⊥OD}
X(D)をさらにスライスして次のような集合にわける。
X(D, θ)={(A,B,C)∈X(D)|∠D0A=θ}
つまり、球面に対して、中心を通る軸を考え、その軸に垂直な平面で球面を切った時にできる円周上の３点A,B,C を考えることになる。
つまり、条件付き確率P(Δ|X(D,θ)) を考えることになる。
| だから、 P(Δ|X(D,θ))= |
1 4 |
| P(Δ|X(D))=∫P(Δ|X(D,θ))P(dθ)=∫ |
1 4 | P(dθ)= |
1 4 |
| P(D)=∫P(Δ|X(D))P(dD)=∫ |
1 4 | P(dD)= |
1 4 |
答 球面上に任意の３点A,B,C をとったとき△ABCが鋭角三角形となる確率は、1/4 である。
◆愛知県 juin さんからの解答。
前回の解答で、一部訂正があります。
Δをスライスするとき D∈S2をとり、
ODに垂直な円周の集合X(D)を考えましたが、
この場合、Oに関して、Dと対称な点 -D をとったとき、
X(D)=X(-D)
となり、重複してしまいます。
そこで、Oを通る直線Lを考え、X(L)をもちいて条件付き確率を考えます。
計算は全く同じで、結果も同じになります。
◆宮城県 甘泉法師 さんからのコメント。
不完全ですが考え方だけを書きます。
単位球面上に３点をとりこれらがつくる平面三角形を考える。
鋭角三角形、鈍角三角形とは、一番長い辺の対角と９０度の大小であるから、
一番長い辺をなす端点Aを「北極」 （θ，φ）＝（0，0）
φは本当は任意でいいが0にしておく。
他端点Bを「経度０度線上」（ｔ，0）になるように座標をとる。
残った点Cは、辺ABが最長なので
「θ＜ｔ かつ 点Bを北極にした座標系でのθ＜ｔ」であるような領域Iにある。
∠ACBが直角である条件は点Cが 単位球と、ABを直径とする球の交線である球面上の円周にあることであり、鈍角三角形であることCがこの円内（領域II）にあること。
領域の形はｔが小さいときは、
球に描いた「目」の形の白目部分＋黒目部分が領域I、黒目部分が領域IIという具合。
領域Iの面積 を S(t) とおく。
面積要素は dS = sinθdθdφなので領域IIの面積は具体的に式がわかり、
| 2π(1 - cos（ | t 2 | )) |
| よって 求める割合は 2π(1 - cos（ | t 2 | ))/ S(t) |
ｔは値によらず 1/πの重率として、上式を 積分して
| π ∫ 0 | (1 - cos（ | t 2 | ))/ S(t) dt が求める値 |
●不完全な点
たとえると、2個の区間[0,1]内のランダムに選んだ数の大きいほうをAとすると、
こうして作った多数のAの分布は[0,1] でやはりランダムと考えていいのでしょうか。
小さいほうBの分布とくらべると平均値は明らかに
Bの平均 ＜ Aの平均なので、分布はランダムではないようにも思えます。
◆愛知県 juin さんからのコメント。
宮城県 甘泉法師さんの疑問について。
Ω＝[0,1]×[0,1]とし、長さに比例した確率Pを考える。
(X,Y)∈Ωとし、
小さい方をm=min(X,Y), 大きい方をM=Max(X,Y)とする。
Mの分布を考える。
P(M≦t)=P(X≦Y≦t or Y≦X≦t)=P(X≦Y≦t)+P(Y≦X≦t)
| ここで、P(X≦Y≦t)= | t2 2 | となる。 |
| P(X≦Y≦t)=P(Y≦X≦t)= | t2 2 |
小さい方も同様である。
P(m＞t)=P(X≧Y＞t or Y≧X＞t)=P(X≧Y＞t)+P(Y≧X＞t)
| ここで、P(X≧Y＞t)= | (1-t)2 2 | となる。 |
| P(X≧Y＞t)=P(Y≧X＞t)= | (1-t)2 2 | だから、 |
P(m≦t)=1-P(m＞t)=1-(1-t)2となる。
tで微分すると、2(1-t)となり、0に近い方に集中している。
◆宮城県 甘泉法師 さんからのコメント。
前のコメント中「ｔについて均等な重率を考えてよいか」ついて、juinさんのご教示をもとに以下のように考えました。
球面三角形ABCの対辺（の球の中心においてなす角）をa,b,cとする
とりうる値は[0,π]。次の操作を考える。
区間[0,π]からランダムに３つの数a,b,cを選ぶ ↓ z = max(a,b,c) ↓ No z ＜ ｘ＋ｙ 他の２つの和 ? → 球面三角形はできないのでストップ ↓Yes 記録 (z,x,y)これを多数おこなった分布 f(z)が、最長辺（の球の中心においてなす角)がzである確率。
ｚ≧ x, ｚ≧ y, ｚ＜x + y の領域にある体積を
面ｚ＝ｔとｚ＝ｔ＋ｄｔでスライスした部分/ 全体積 が、ｆ（ｔ)ｄｔ。
| このスライス部分は三角形で f(ｚ)＝ | z2 2 | ・ | 6 π3 |
| 規格化係数は | π ∫ 0 | f(ｔ)ｄｔ＝１ であるようにとった。 |
(感想)
区間[0,π]からランダムに３つの数a,b,cを選んだ中には球面三角形ができない「無駄」なものがあるので、この考え方で本当に題意のランダムな三角形がつくれているのか疑問があります。
◆山梨県 Footmark さんからの解答。
【答え】
| 鋭角三角形となる確率＝ | １ ４ | , 鈍角三角形となる確率＝ | ３ ４ |
【証明】
球面上の異なる３点は同一直線にないため１つの平面を決定します。
球をその平面で切断すると、必ず切断面は円になり、当然３点はその円周上にあります。
また、ある切断面での円周上の３点は、どんな切断面においても必ず相似(合同)で１対１に存在します。
つまり、円周上の三点のあり方は切断面の如何にはよらないことになります。
ですから、この問題は円周上に３頂点がある三角形が鋭角三角形や鈍角三角形になる確率を求めることになります。
しかし、どんな三角形にも外接円があるので「円周上に３頂点がある」は必要なく、三角形が鋭角三角形や鈍角三角形である確率を求めることになります。
ここで、同一の外接円(切断面)を決定するすべての三角形を検討してみます。
まず、円周上の２定点による中心角がα(０＜α≦π)の時を考えます。
第３の点は２定点に重ならない円周上の任意の位置にとります。
３点とも半円周未満の円弧上にあれば、
| 必ず真ん中の点の頂角は | π ２ | を越え鈍角三角形になります。 |
ですから、第３の点が上図の赤線上の時に鋭角三角形になり青線上の時に鈍角三角形になります。
| 当然、鋭角三角形になる確率は | α ２π | です。 |
αを限りなく ０ に近づけると、鋭角三角形になる確率は限りなく ０ に近づき、
αを限りなく π に近づけると、
| 鋭角三角形になる確率は限りなく | １ ２ | (＝ | π ２π | ) に近づきます。 |
そこで、横軸を「α」, 縦軸を「鋭角三角形の確率」としてグラフにすると以下になります。
グラフ(図)でも分かるように、任意の外接円(切断面)において
| 円周上の３点が鋭角三角形となる確率は | １ ４ | です。 |
| 球面上の３点でできる三角形においても、やはり | １ ４ | となります。 |
証明は終わりです。