ｘ，有理点(0,0)◆三重県 いわし さんからの解答。
[補題]
格子点を頂点とする正100角形は存在しない。
[補題の証明]
格子点を頂点とする正100角形が存在したとすると、
その辺の長さは、正整数m, nを用いて √(m2+n2)
と書けるので、
辺の長さが最小のものが存在する。
その一つを Γ=P0P1
... P99 とする。
PkQk = Pk+1Pk+2
（k=0,1, ... ,99, 添え字はmod 100で考える）を満たす点 Qk は
格子点であり、 Q0Q1 ... Q99 はΓより辺の長さが小さい正100角形なので矛盾。
よって補題は証明された。（終）
[系]
有理点を頂点とする正100角形は存在しない。
題意の円Cが存在したとして、C上の有理点を反時計回りにA0 ,
A1 , ... , A99 とする。
Cの中心Oは線分 A0A1 , A1A2
の垂直二等分線 k, m の交点であり、
k, mはx, yの有理係数一次式で表されるので、Oは有理点である。
O(0, 0)としてよい。
θk=∠AkOAk+1 (k=0,1, ... ,99) の中に異なるものがあったとする。
θp＞θq とすると、∠ApOB =θq
なる点BをCの劣弧 ApAp+1 上にとれば、
BはAk以外の有理点なので仮定に反する。
よってθkはすべて等しい。
すなわちAkは正100角形の頂点となるが、補題の系により矛盾。
よって、周上にちょうど100個の有理点を持つ円は存在しない。（終）
◆出題者のコメント。
いわしさん、解答ありがとうございます。
正解です。題意を満たす円は存在しません。
では、追加問題として、円周上に存在しうる有理点の個数は何通りでしょうか？
例えば円周上にちょうど10個の格子点を持つ円は存在するでしょうか。
有理点の個数がいくつなら円が存在すると言えるでしょう。
あまり多くないので、考えられるパターンを全て求めてください。
◆岩手県 utu さんからの解答。
条件を満たす円が存在するならば、円周上の有理点３つで作られる三角形の外心が円の中心。
各辺の垂直２等分線の交点が外心だから、外心の座標は有理数係数の連立一次方程式の解となり、有理点である。
したがって、平行移動して原点を中心として良い。
さて、直角三角形の３辺をなす、ピタゴラス数は無限に存在する。
（５，４，３）、（１３，１２，５）、（１７，８，１５）、・・・
すなわち、（cosθ、sinθ）が、有理点となるようなθは
| ０≦θ≦ | π ２ | の範囲だけでも無限にある。 |
◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答。
【解答】 存在しない
（１）中心が有理点(0x,0y)の場合
円周上の有理点の一つを(X0,Y0)とする。
このときm∈Zをパラメータとする、下記の点(X、Y)は同一円周上の点である。
即ち、有理点は無限個存在する。
よって、中心が有理点の場合周上の有理点は０個が無限個のいずれかである。
X=Ox+(X0-Ox)*a+(Y0-Oy)*b 、Y= Ox-(X0-Ox)*b+(Y0-Oy)*a
| ここで a= | m2-1 m2+1 | ，b= | 2*m m2+1 | ，a2+b2=1 |
∵(X-Ox)2+(Y-Oy)2
＝{(X0-Ox)2+(Y0-Oy)2} {a2+b2}
＝{(X0-Ox)2+(Y0-Oy)2}
（２）中心が無理点(0x,0y)の場合
円を (X-Ox)2+(Y-Oy)2＝ｒ とする。
円周上の有理点から異なる２個えらび(X1,Y1) (X2,Y2)とする。
このとき２方程式の差をとると、
| X12＋Y12−X22−Y22 2 | ＝Ox*(X1−X2)+ Oy*(Y1−Y2)である。 |
X,Yは対称だから一般性を失わずX1−X2≠０とする。
すると両辺をX1−X2でわれば
C= Ox+ Oy*D C,D∈有理数
である。
従って、中心が無理点であるためには、Dが０であるかどうかによらず、
少なくともOyは無理数でなければならない。
これを代入すると 円の式は
((X- C)+ Oy*D)2+(Y-Oy)2＝ｒ である。
計算すると
(X-C)2+Y2+2{(X-C)D-Y}*Oy+(D2+1)Oy2=(X1-C)2+Y12+2{(X1-C)D-Y1}*Oy+(D2+1)Oy2
即ち
(X-X1)*(X+ X1+2C)+Y2-Y12+2*{(X-X1)D -(Y-Y1)}Oy=0
もし{(X-X1)D -(Y-Y1)}≠０であれば
Oy=有理数/{(X-X1)D -(Y-Y1)}になり無理数であることに矛盾する。
よって、(X-X1)D -(Y-Y1)＝０である。
これは直線であり、円とは最大２点でしか交わらない。
よって、１００個にはできない。
【まとめ】
円周上の有理点の個数は０個か１個か２個か無限個に限る。
０個の例 ｘ2＋ｙ2＝３
１個の例 ｘ2＋ｙ2＝ｘ，有理点(0,0)
２個の例 ｘ2＋（ｙ−
）2＝４，有理点(±１，0)
無限個の例 ｘ2＋ｙ2＝１，有理点(a，b)
◆出題者のコメント。
さっそく、正解が出ました。
Y.M.Ojisanさん凄いです。
今回の問題は『幾何学の散歩道』 前原潤・ピーターフランクル著 共立出版からの問題でした。
◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからのコメント。
いわしさんの、「垂直二等分線」の方法と組み合わせたほうがシンプルですね。