◆北海道 キューダ さんからの解答。
(a-d)3+a3+(a+d)3=b3は、
| y2=x3-648，(x= | 6b a |
，y= | 36d a |
)と変形できる。 |
つまりこの問題は、楕円曲線上の有理点を求める問題になる。
c≠1、-432なる整数に対し、
x*y≠0である有理点(x,y)が楕円曲線y2=x3+c上にあるなら、
| ( | x4-8cx 4y2 |
， | -x6-20cx3+8c2 8y3 |
) |
これを、この曲線上の点(9,9)から繰り返し適用すると、
| ( | 657 4 |
， | 16839 8 |
)，( | 2302948593 56010256 |
，- | 109999965829833 419180755904 |
)， |
| ( | 373155796562178187408666756277655153 33467835878839956858616595058849856 |
， | 166338426879824165933945148793066630275888852269746953 6122678366707171650639152044982629007888518816554496 |
) |
等が得られる。
最初の２点から得られる答えは、
(a,b,d)=(8*36,12*657,16839),(1676723023616,11490178180008,-12222218425537)であるが、 a＜|d|であるため、a+d、あるいは、a-dが負になるため除かねばならない。
が、３番目の点から得られる
a=24490713466828686602556608179930516031554075266217984 b=45510619634798690898320620275910748583274118664977232 d=18482047431091573992660572088118514475098761363305217は条件を満たす。
つまり、この(a,b,d)は、(a-d)3+a3+(a+d)3=b3,a＞|d|を満たす。