◆東京都 Ｙ．Ｍさんからの解答。
[問題] 正三角形の証明 ----- Morley（モーレー）の定理
ちなみに内角、外角、優角（内角の反対側の角）の３等分およびこれらの適当な組合せでも正三角形になります。
私は初等幾何学ではこれが１番美しい定理だと思っています
◆岐阜県 水の流れ さんからの解答。
Frank Morleyの定理
△ＡＢＣの∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃの３等分線の、辺に近い２つずつの交点を図のようにＸ，Ｙ，Ｚとする。
∠ＢＡＸ＝∠ＸＡＹ＝∠ＹＡＣ＝α
∠ＡＢＸ＝∠ＸＢＺ＝∠ＺＢＣ＝β
∠ＢＣＺ＝∠ＺＣＹ＝∠ＹＣＡ＝γとする。
△ＡＢＣの内角の和は１８０度だから、
３（α＋β＋γ）＝１８０゜
∴α＋β＋γ＝６０゜
正三角形Ｘ'Ｙ'Ｚ'を作り、その外側にＡ'，Ｂ'，Ｃ'を
∠Ｘ'Ｙ'Ａ'＝６０゜＋γ
∠Ｙ'Ｘ'Ａ'＝６０゜＋β
∠Ｚ'Ｘ'Ｂ'＝６０゜＋α
∠Ｘ'Ｚ'Ｂ'＝６０゜＋γ
∠Ｙ'Ｚ'Ｃ'＝６０゜＋β
∠Ｚ'Ｙ'Ｃ'＝６０゜＋α のようにとる。
∠Ｘ'Ａ'Ｙ'
＝１８０゜−∠Ｘ'Ｙ'Ａ'−∠Ｙ'Ｘ'Ａ'
＝１８０゜−（６０゜＋γ）−（６０゜＋β）
＝６０゜−β−γ
＝α
同様に、
∠Ｘ'Ｂ'Ｚ'＝β
∠Ｙ'Ｃ'Ｚ'＝γである。
点Ｙ'，Ｚ'のそれぞれＡ'Ｘ'、Ｂ'Ｘ'に関する対称点をそれぞれＰ，Ｑとすると
∠ＰＸ'Ｑ
＝３６０゜−２∠Ｙ'Ｘ'Ａ'−２∠Ｚ'Ｘ'Ｂ'−∠Ｙ'Ｘ'Ｚ'
＝３６０゜−２（６０゜＋β）−２（６０゜＋α）−６０゜
＝６０゜−２（α＋β）
＝６０゜−２（６０゜−γ）
＝２γ−６０゜
またＸ'Ｐ＝Ｘ'Ｙ'＝Ｘ'Ｚ'＝Ｘ'Ｑであるから
∠Ｘ'ＰＱ
＝∠Ｘ'ＱＰ
＝（１８０゜−∠ＰＸ'Ｑ）÷２
＝｛１８０゜−（２γ−６０゜）｝÷２
＝１２０゜−γ
∠Ｘ'ＰＡ'＝∠Ｘ'Ｙ'Ａ'＝６０゜＋γ
∴∠Ｘ'ＰＱ＋∠Ｘ'ＰＡ'＝１８０゜
∠Ｘ'ＱＢ'＝∠Ｘ'Ｚ'Ｂ'＝６０゜＋γ
∴∠Ｘ'ＱＰ＋∠Ｘ'ＱＢ'＝１８０゜
よって４点Ａ'，Ｐ，Ｑ，Ｂ'は一直線上にある。
したがって、
∠Ｂ'Ａ'Ｘ'＝∠ＰＡ'Ｘ'＝∠Ｙ'Ａ'Ｘ'＝α
∠Ａ'Ｂ'Ｘ'＝∠Ｑ'Ｂ'Ｘ'＝∠Ｚ'Ｂ'Ｘ'＝β
同様に、
∠Ｃ'Ａ'Ｙ'＝∠Ｘ'Ａ'Ｙ'＝α
∠Ｃ'Ｂ'Ｚ'＝∠Ｘ'Ｂ'Ｚ'＝β
∠Ａ'Ｃ'Ｙ'＝∠Ｚ'Ｃ'Ｙ'＝γ
∠Ｂ'Ｃ'Ｚ'＝∠Ｙ'Ｃ'Ｚ'＝γ
がいえる。これらから対応する２角が等しいから
△ＡＢＸ∽△Ａ'Ｂ'Ｘ'、
△ＡＢＣ∽△Ａ'Ｂ'Ｃ'
△ＡＣＹ∽△Ａ'Ｃ'Ｙ'
∴ＡＸ：Ａ'Ｘ'＝ＡＢ：Ａ'Ｂ'＝ＡＣ：Ａ'Ｃ'＝ＡＹ：Ａ'Ｙ'
また∠ＸＡＹ＝∠Ｘ'Ａ'Ｙ'
∴△ＡＸＹ∽△Ａ'Ｘ'Ｙ'
同様に
△ＢＣＺ∽△Ｂ'Ｃ'Ｚ'、
△ＢＸＺ∽△Ｂ'Ｘ'Ｚ'
△ＣＹＺ∽△Ｃ'Ｙ'Ｚ'
これらから
∠ＢＸＺ＝∠Ｂ'Ｘ'Ｚ'、
∠ＡＸＢ＝∠Ａ'Ｘ'Ｂ'、
∠ＡＸＹ＝∠Ａ'Ｘ'Ｙ'であるから
∠ＺＸＹ＝∠Ｚ'Ｘ'Ｙ＝６０゜
同様に∠ＸＹＺ＝６０゜がいえるから、△ＸＹＺは正三角形である。
◆宮城県 アンパンマン さんからの解答。
∠ＢＡＸ＝∠ＸＡＹ＝∠ＹＡＣ＝α
∠ＡＢＸ＝∠ＸＢＺ＝∠ＺＢＣ＝β
∠ＢＣＺ＝∠ＺＣＹ＝∠ＹＣＡ＝γとする。
α＋β＋γ＝６０゜
△ＡＢＣの外接円の直径をDとする。
BX
=ABsin(α)/sin(π-α-β)
=Dsin(3γ)sin(α)/sin(α+β)
=Dsin(3γ)sin(α)/sin(π/3-γ)
同様に
BZ=Dsin(3α)sin(γ)/sin(π/3-α)
sin(3λ）＝４sin(λ)sin(π/3-λ)sin(π/3+λ) より
BX=4Dsin(γ)sin(α)sin(π/3+γ)
BZ=4Dsin(α)sin(γ)sin(π/3+α)
XZ2 =BX2+BZ2-2BX.BZcos(β) =[4Dsin(α)sin(γ)]2.[sin(π/3+γ)2+sin(π/3+α)2-2sin(π/3+γ)sin(π/3+α)cos(β)]
4sin(A)sin(B)cos(C) =-cos(A+B+C)-cos(A+B-C)+cos(B+C-A)+cos(A+C-B)より
XZ2
={[4Dsin(α)sin(γ)]2}/2.[1-cos(2π/3+2γ)+1-cos(2π/3+2α)-{-cos(π)-cos(π-2β)+cos(π/3-2γ)+cos(π/3-2α)}]
={[4Dsin(α)sin(γ)]2}/2.(1-cos(2β))
=[4Dsin(α)sin(γ)]2.sin(β)2
XZ=4Dsin(α)sin(γ)sin(β)
同様に
XY=YZ=4Dsin(α)sin(γ)sin(β)
よって△ＸＹＺは正三角形である。