◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答。
【問題0】
2項展開より
(1+1)2m+1= | 2m+1 Σ K=0 |
2m+1Ck= | m 2Σ K=0 |
2m+1Ck | >22m+1Cm |
Cの定義より
2m+1Cm+1 | = | 2m+1 Π K=m+2 |
K m! |
n=m+1として、問題0と問題1の結果を合わせると
P(2n−1) P(n) | <4n−1 ―――(A) |
1から[ | n 2 | ]の間の数を因数分解したとき、 |
[ | n 2 | ]+1からnの間の数の因数分解におけるpの冪は高々m+1である。 |
∵ A=Kpm≦ | [ | n 2 | ] とする。 |
すると pm+1≧ | [ | n 2 | ] +1である。 |
pm+2≧ | [ | n 2 | +1]×p=[ | n 2 | +1]×2≧n+1>n である。 |
補題1により、S([ | n 2 | ])の因数分解のpの冪がmなら、 |
S(n)/S([ | n
2 |
])≦P(n) |
問題2と問題3の結果を合わせると
S(n)/S([ | n
2 |
]) <4n ―――(B) |