『素数の積と最小公倍数』解答


◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答。

【問題0】

2項展開より

(1+1)2m+1 2m+1
Σ
K=0
2m+1Ck m
Σ
K=0
2m+1Ck >22m+1Cm

よって

>2m+1Cm+1


【問題1】

Cの定義より

2m+1Cm+1 2m+1
Π
K=m+2
K
m!

m!にはm+2以上の素数は含まれない。 
一方、分子のΠの項は題意の素数を全て含んでいる。
よって割り切れる。


【問題2】

n=m+1として、問題0と問題1の結果を合わせると

P(2n−1)
P(n)
<4n−1   ―――(A)

である。少し、具体的に計算すると下図のように十分満足している。



P(n)<4 であるとき(A)により 
P(2n−1)<42n−1 であり、満足している。

また、2nは素数ではないので 
P(2n)=P(2n−1)<42n−1<42n である。
以上より、数学的帰納法により P(n)<4 である。

【問題3】 

【補題1】
1から[
]の間の数を因数分解したとき、
ある素数pの最大冪がmであるならば、
[
]+1からnの間の数の因数分解におけるpの冪は高々m+1である。

∵ A=Kp [
] とする。
すると pm+1 [
] +1である。

またp≧2である。

よって 
m+2 [
+1]×p=[
+1]×2≧n+1>n である。

補題1により、S([
])の因数分解のpの冪がmなら、
S([n])の因数分解のpの冪は高々m+1である。

従って 
S(n)/S([
])≦P(n)
である。 


【問題4】

問題2と問題3の結果を合わせると
S(n)/S([
]) <4n   ―――(B)
である。

少し、具体的に計算すると下図のように十分満足している。


S(m)<16 であるとき (B)により 
S(2m)<162m であり、成立している。

また、S(2m+1)も (B)により 
S(2m+1)<162m<162m+1であり、成立している。
よって数学的帰納法より成立している。


【コメント】 いずれも exp(n)のオーダーのようです。


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