◆神奈川県 諏訪 冬葉 さんからの解答。
【問題１】
AI と外接円の交点を P とする
∠BCP=∠BAP=∠CAP=∠CBP
より △PBC は二等辺三角形
PB=PC
また
∠BPC=180-∠A
| ∠BIC=180-∠IBC-∠ICB=180- | ∠B 2 | - | ∠C 2 |
=90＋ | ∠A 2 |
より、P を中心に BC を通る円を描いたとき I もこの円上にある。
【問題２】
AH が BC と交わる点を D、外接円と交わる点を P とする。
BH が CA と交わる点を E とすると、 ABDE は同一円周上にある。
∠CBH=∠DBE=∠DAE=∠PAC=∠PBC
同様に∠BCH=∠PCB
よって△HBC≡△PBC
よって、△HBC の外接円の半径は △PBC の外接円の半径に等しい。
△PBC の外接円は △ABC の外接円と同じなので題意が示された。
◆出題者のコメント。
諏訪冬葉 さん、解答ありがとうございます。
【問題１】も【問題２】も、「鮮やか」の一言です。