◆東京都 siobhan さんからの解答。
面P0を原点Ｏを通るように平行移動し、移動先の面をP0'とする。
各Pk（1≦ｋ≦ｎ）を同じだけ平行移動させ、Pk'とする。
α=（a1a2...aｎ）とするとPｋは （α，Χ）=ｂｋ-ｂ0（=ｂｋ'とおく） と表される。
面P1',P2',...,Pn'上に、一般の位置にあるような点Χ1,Χ2,...,Χｎをとる。
また、各ｉ,ｊ（0≦ｉ＜ｊ≦ｎ）について、
|| Ｅｉ - Ｅｊ ||=1 であるような適当な点Ｅ0=Ｏ,Ｅ1,...,Ｅｎをとると、
これらは一般の位置にあり、正（ｎ+1）面体の頂点を成す。
正則なｎ×ｎ行列Ａによって ｆ：Χ→ＡΧ と表され、ΧｋをＥｋに移すような変換を考える。
ＡΧｋ=Ｅｋ ⇔ Χｋ=Ａ-1Ｅｋ
（α，Χｋ）=ｂｋ' ⇒ （α，Ａ-1Ｅｋ）=（ｔ（Ａ-1）α，Ｅｋ）=ｂｋ' が成り立つ。
ｆ（Pｋ'）は （ｔ（Ａ-1）α，Χ）=ｂｋ' で表される平面であるが、
ｆ(Pi')とｆ(Pj')（ｉ≠ｊ）とは平行であり
Ｄ（ｆ(Pi')，ｆ(Pj')）=||α||/||ｔ（Ａ-1）α||*Ｄ（Pｉ'，Pｊ'） 。
Ｅｋはｆ（Pｋ'）に含まれている。
ここで全ての点Χに ｇ：Χ→||ｔ（Ａ-1）α||/||α||*Χ なる変換を施すと、
D（ｇ（ｆ（Pi'）），ｇ（ｆ（Pj'）））=Ｄ（Pｉ'，Pｊ'） であり、
ｇ（Ek）は平面ｇ（ｆ（Pk'））に含まれ、
ｇ（E1），...,ｇ（En）は正（ｎ+1）面体の頂点を成すが
適当な回転、平行移動によって平面ｇ（ｆ（Pk'））をPkに重ねることができる。
よって条件をみたす正(n+1)面体が存在するが、逆に条件を満たす正(n+1)面体は全て今回の操作で得られることに注意 する（※）。
||ｇ（Eｉ）-ｇ（Ｅｊ）||=||ｔ（Ａ-1）α||/||α||（ｉ≠ｊ） である
ここで || Ｅｉ - Ｅｊ ||2=||Ｅｉ||2+||Ｅｊ||2−2*（Ｅｉ，Ｅｊ）=2-2*（Ｅｉ，Ｅｊ）=１ より
（Ｅｉ，Ｅｊ）=１/2（ｉ≠ｊ）を得る。
ｔ（Ａ-1）αをＥ1,...,Ｅｎによって、
ｔ（Ａ-1）α=ｘ1*Ｅ1+ｘ2*Ｅ2+...+ｘｎ*Ｅｎ
と表すことができるが、このとき
||ｔ（Ａ-1）α||2
=（ｘ1*Ｅ1+ｘ2*Ｅ2+...+ｘｎ*Ｅｎ，ｘ1*Ｅ1+ｘ2*Ｅ2+...+ｘｎ*Ｅｎ）
=Σ（1≦ｉ≦ｊ≦ｎ）ｘｉ*ｘｊ …(1) となる。
また、
（ｔ（Ａ-1）α，Ｅｋ）=ｂｋ' （1≦ｋ≦ｎ）
⇔（ｘ1ｘ2...xｎ）*（対角成分が1で、その他の成分が全て1/2のｎ行列）=（ｂ1'b2'...ｂｎ'）
⇔（ｘ1ｘ2...xｎ）=2/（ｎ+1）*（対角成分がｎで、その他の成分が全て-1のｎ行列）*（ｂ1'b2'...ｂｎ'）…(2)
(1)、(2)から結局 ||ｔ（Ａ-1）α||2 を ｂ0,...,ｂｎ によって表すことができ、
||ｇ（Eｉ）-ｇ（Ｅｊ）||=√（2*（Σ（0≦ｉ＜ｊ≦ｎ）ｄｉｊ2）/（ｎ+1）） が導かれる。
（※）から、以上で証明された。