◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答。
（１）
Ｐｉｃｋの定理により Ｈ＝０ のとき
Ｓ＝Ｉ＋Ｂ／２＋Ｈ−１ であることは、証明済み。
（２）
Ｈ＝１のとき、内部空洞の周上の点Ｂ１から、Ｎ個の内部の点を経由して、外部周上の点Ｂ２にいたる線分で図形を切ることは可能である。
このとき、切断線は２つの折れ線が重なっていると考えると、図形は１つの空洞のない図形となり、ピックの定理が適用可能である。
内部の点はＮ個へり Ｉ−Ｎ
周上の点は
Ｂ１，Ｂ２がダブって＋２ ＆ 切断線上でＮ×２個ふえる。
即ち
Ｓ＝（Ｉ−Ｎ）＋（Ｂ＋２＋Ｎ×２）／２−１
＝ Ｉ＋Ｂ／２−１＋１
＝ Ｉ＋Ｂ／２−１＋Ｈ
ただし、Ｈ＝１
すなわち、Ｈ＝１のときは成立する。
（３）
Ｈ＝ｈの時、Ｓ＝Ｉ＋Ｂ／２＋Ｈ−１が成立するなら、
Ｈ＝ｈ＋１のとき いずれかの内部空洞から（２）と同じように切り開けば
Ｓ（Ｈ＝ｈ＋１）
＝Ｓ（Ｈ＝ｈの式）
＝（Ｉ−Ｎ）＋（Ｂ＋２＋２Ｎ）／２＋ｈ−１
＝Ｉ＋Ｂ／２＋（ｈ＋１）−１
＝Ｉ＋Ｂ／２＋Ｈ−１
であり、ｈ＋１の時も成立する。
よって数学的帰納法により 一般に成立する。