◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答。
問題の行列をｔとする。
添え字の加減演算はMODｎで行うものとし、
添え字範囲を０〜ｎ−１にずらすと、下式で表記できる。
以後も同じ表現とする。
【補題１】
行列ｔの性質をもつ行列の集合をＴで表すとき，Ｔ の任意の２要素の積はＴの要素である。
なぜなら、以下であるからである。
ここでＹ，Ｚは自然数である。
記号法として、縮約を用いた。
【補題２】
行列式の性質より、以下が成立する。
【補題３】
Ｔの要素に対して 下記で定義される ｜ ｜１はノルムの特性をもつ。
なぜなら、以下であるからである。
【問題１】
下記 Ｕを定義する．
｜Ｕ｜＝１であるから
｜ｔ｜＝１ に対し ｜ｔＵ｜＝１である。
ｔＵの計算を行うと、 Ｑ＝ｎ｜ｔ｜１
とおくことにより、下記のように計算される。
この式の行列式を計算し、行列式からＱを抜き出し整理すると、以下である。
Ｑはｎ以上であり、従って、上記の右辺の行列式は１未満の正の数である。
一方、ａがｎ乗数であると、右辺行列の各要素は整数であり，その行列式も整数である。
しかし、正の整数で１以下のものはない。
よって、ａはｎ乗数ではない。
【問題２】
｜ｔ｜＝１であるとき、補題１および補題２により
｜ｔｍ｜＝１ ｍ：任意自然数であり、
ｔｍ は条件を満足する行列である。
また、｜ｔ｜１＝１となるのは
各Ｘiおよびａが１のときのみであり，
この時｜ｔ｜＝０であるから矛盾する。
従って｜ｔ｜１＞１である。
補題３により、
｜ｔｍ｜１＝｜ｔ｜１ｍ である。
｜ｔ｜１＞１であるから、ｍ が異なれば
｜ｔｍ｜１は異なる。
よって、｜ｔｍ｜＝１を満足するｔｍは自然数の程度で無限にある。
【Ｐ．Ｓ．】
問題１は 行列式が 各列ベクトルを１辺とする「ｎ次元の平行四辺形」の体積であることを使えば、
列ベクトルのuに直交する成分の長さ
（全部同じ長さなのでどの列でもよい）
が、単位１の格子点では 最小でも(1−1/n)0.5 であって、
（定数/Ｑ）1/(n-1)の最大値との関係から成立しないというpart1と同じ幾何学的な方法もある。