◆宮城県 甘泉法師 さんからの解答。
Ｐの配球が直球である確率をｘとする。
Ｂの読みが直球である確率をｙとする。
打率は
Ｋ（ｘ、ｙ）
＝ 0.8*ｘｙ + 0.2*ｘ（1-ｙ）＋0.1*（1−ｘ）ｙ ＋0.5*（1−ｘ）（1−ｙ）
＝0.5 - 0.3*ｘ - 0.4*ｙ + ｘｙ
| ピッチャーの最善策は、 | ∂K ∂x |
＝-0.3 + y から |
| バッターの最善策は、 | ∂K ∂y |
＝-0.4 + x から |
| Ｙ＜0.3 | Ｙ＞0.3 | |
| Ｘ＜0.4 | 0.2 * | 0.5 ** |
| Ｘ＞0.4 | 0.8 ** | 0.1 * |
【コメント】
推測値を信頼して全部直球か全部変化球にすることを「最善策」としています。
◆京都府 大空風成 さんからの解答。
[Ｐの配球]と[Ｂの読み]の各組み合わせにおける、Ｂが打ち返す確率
| Ｐの配球： 直球 | Ｐの配球：変化球 | |
| Ｂの読み： 直球 | 0.8 | 0.1 |
| Ｂの読み：変化球 | 0.2 | 0.5 |
0≦p≦1、0≦b≦1として、
Ｐが、直球を p 、変化球を 1-p の割合で配球し、
Ｂが、直球を b 、変化球を 1-b の割合で読んだとする。
このとき、Ｂが打ち返す確率 Ｅ(p, b) は、
Ｅ(p, b)=0.8pb+0.1(1-p)b+0.2p(1-b)+0.5(1-p)(1-b)
=(p-0.4)(b-0.3)+0.38
【問題１】
もし、表が次のようになっていたら、
| Ｐの配球： 直球 | Ｐの配球：変化球 | |
| Ｂの読み： 直球 | 0.8 | 0.5 |
| Ｂの読み：変化球 | 0.2 | 0.1 |
Ｂの読みが直球でも変化球でも、Ｐの配球はすべて変化球となる。
ところが、ＰもＢも、冒頭の表にある事実を知っているのだから、
Ｂの読みがすべて直球とすると、Ｐの配球の最善策はすべて変化球となり、
Ｂの読みがすべて変化球とすると、Ｐの配球の最善策はすべて直球となる。
「配球」や「読み」が事前に相手に判明することは一切ないので、
Ｂがどんな読みをした場合でも、打ち返される球数を最も少なくするには、
つまりＰの最善策は、直球と変化球を混ぜた配球になる。
p=0.4 のとき、b がいかなる値をとっても、Ｅ(p=0.4, b)=0.38 となる。
p<0.4 のとき、b<0.3 なら、 Ｅ(p<0.4, b<0.3)＞0.38 となり、
p>0.4 のとき、b>0.3 なら、 Ｅ(p>0.4, b>0.3)＞0.38 となるので、
Ｐが打ち返される球数をできるだけ少なくするためには、p=0.4 が最善策。
50×0.4=20、50×(1-0.4)=30 だから、
Ｐは５０球のうち、直球 20 球、変化球 30 球を混ぜて投げるのが最善である。
【問題２】
同様に、Ｂの最善策も、直球と変化球を混ぜた読みになる。
b=0.3 のとき、p がいかなる値をとっても、Ｅ(p, b=0.3)=0.38 となる。
b<0.3 のとき、p>0.4 なら、 Ｅ(p>0.4, b<0.3)＜0.38 となり、
b>0.3 のとき、p<0.4 なら、 Ｅ(p<0.4, b>0.3)＜0.38 となるので、
Ｂは打ち返す球数をできるだけ多くするためには、b=0.3 が最善策。
50×0.3=15、50×(1-0.3)=35 だから、
Ｂは５０球のうち、直球 15 球、変化球 35 球を混ぜて読むのが最善である。
【問題３】
ＰもＢも最善を尽くすと、つまり p=0.4、b=0.3 のとき、
Ｂが打ち返す確率は、Ｅ(p=0.4, b=0.3)=0.38 となる。
Ｐだけが最善を尽くすと、つまり p=0.4、0≦b≦1 のとき、
Ｂが打ち返す確率は、Ｅ(p=0.4, b)=0.38 となる。
（余談１）
Ｂが、冒頭の表にある事実を知っていることから、
Ｐが最善をつくした場合 p=0.4 にすることが分かり、
それに合わせて b=0.4 とすると、
50 球の1球ずつについて、すべて読みが当たった場合、
0.4×0.8+(1-0.4)×0.5=0.62、50×0.62=31 球を打ち返す可能性もある。
逆に、 b=0.4 としても、最大限読みがはずれて、
0.4×0.1+0.2×0.5+0.4×0.2=0.22、50×0.22=11 球を打ち返すにとどまる可能性もある。
「配球」や「読み」が事前に相手に判明することは一切ないのだから、あくまで可能性である。
（余談１終）
Ｂだけが最善を尽くすと、つまり 0≦p≦1、b=0.3 のとき、
Ｂが打ち返す確率は、Ｅ(p, b=0.3)=0.38 となる。
（余談２）
Ｐが、冒頭の表にある事実を知っていることから、
Ｂが最善をつくした場合 b=0.3 にすることが分かり、
それに合わせて p=1-0.3=0.7 とすると、
50 球の1球ずつについて、すべてＢの読みがはずれた場合、
0.3×0.1+(1-0.3)×0.2=0.17、50×0.17=8.5 球に抑える可能性がある。
逆に、 p=0.7 としても、最大限Ｂに読みを当てられて、
0.3×0.8+0.4×0.2+0.3×0.5=0.47、50×0.47=23.5 球を打ち返される可能性もある。
「配球」や「読み」が事前に相手に判明することは一切ないのだから、あくまで可能性である。
（余談２終）
◆出題者のコメント。
甘泉法師 さん、大空風成 さん、解答ありがとうございます。
甘泉法師 さん、惜しくも今一歩でしたね。
大空風成 さん、３問ともみごと正解です。
導入の方法も説明も完璧だと思います。
ちなみに、（ゲーム理論の功績で、ノーベル経済学賞を受賞したジョン・ナッシュの名にちなんで、）
プレイヤー全員が最善策をとったときの均衡状態を、ゲーム理論では「ナッシュ均衡」というそうです。