◆出題者の解答(一部)。
●m=9の場合
題のような数の集まりのピラミッド形を「三角形」と呼ぶことにする。
m=9のとき、三角形を構成する各々の数は0か9のどちらかで、それ以外の数は無い。
ここで、n−1段の三角形で、それを構成する各々の数が0または9である三角形T1を考える。
T1の一段目の右端に0または9を加えることでn段の三角形T2を作るという操作(操作1)を考える。
(例)
このとき新たに加えた数が0か9かによってT2のn段目の数は異なる。・・・(A)
<(A)の証明>
T1の1段目の右端に0か9のどちらかを加えるとする。
するとそれによって生成されるT2の2段目の右端は加えた数が0か9かで明らかに異なる。
さらにそれによって生成されるT2の3段目もT2の右端の数が0か9かで明らかに異なる・・・とn段目まで続ければ、n段目の数ははじめに加えた数によって異なることになる。
つまり、T1がどのような三角形であっても、操作1を施すことでn段目の数が0か9である三角形T2を必ず一つずつ作ることができる。
すべてのT1に操作1を施すことによってすべてのT2を作ることが可能であるから、
求めるT2の個数(=N(9))はT1の個数で、
2n-1個 ・・・ (答)である。
<P.S>
私の力不足から、この問題の解答は完成しておりません。
作成者として興味がある、ということで自分でも解答してみました。
興味を持たれた方に他のmに対する解答を作っていただければ幸いです。