『逆パスカルの三角形』解答


◆出題者の解答(一部)。

●m=9の場合

題のような数の集まりのピラミッド形を「三角形」と呼ぶことにする。
m=9のとき、三角形を構成する各々の数は0か9のどちらかで、それ以外の数は無い。

ここで、n−1段の三角形で、それを構成する各々の数が0または9である三角形T1を考える。
T1の一段目の右端に0または9を加えることでn段の三角形T2を作るという操作(操作1)を考える。

(例)

 

このとき新たに加えた数が0か9かによってT2のn段目の数は異なる。・・・(A)

<(A)の証明>

T1の1段目の右端に0か9のどちらかを加えるとする。
するとそれによって生成されるT2の2段目の右端は加えた数が0か9かで明らかに異なる。

さらにそれによって生成されるT2の3段目もT2の右端の数が0か9かで明らかに異なる・・・とn段目まで続ければ、n段目の数ははじめに加えた数によって異なることになる。

 つまり、T1がどのような三角形であっても、操作1を施すことでn段目の数が0か9である三角形T2を必ず一つずつ作ることができる。
すべてのT1に操作1を施すことによってすべてのT2を作ることが可能であるから、
求めるT2の個数(=N(9))はT1の個数で、

n-1個 ・・・ (答)である。

<P.S>

私の力不足から、この問題の解答は完成しておりません。
作成者として興味がある、ということで自分でも解答してみました。

興味を持たれた方に他のmに対する解答を作っていただければ幸いです。  


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