『放物線 Part4』解答


◆大阪府の中学校3年生 IT さんからの解答。

【中学生のための補題】

2+px+q=0の2解をα,β,より

(x-α)(x-β)=x2-(α+β)+αβ

これは x2+px+q=0と同じなので
α+β=−p,αβ=qが成り立つ。

【問題1】

問題より直線Lは正方形PQRSの対角線なので点P,Rは直線Lに対して反対側にあることになるので、直線Lは放物線Cと交わる点が2つなければならない。

直線Lが放物線Cに接するとき

y=x2とy=ax+bを連立させて

x2=ax+b
x2-ax-b=0

これが (x-p)2に等しいので

p+p=-(-a) 、p×p=-b
2p=a 、p=a
2
a2
4
=-b

答え b>−a2
4

【問題2】

面積が1=一辺の長さが1=対角線の長さが

点PRを結ぶ対角線を直線Mとすると、直線Lと直線Mは直角に交わるので
直線Mの傾き -1
a
線分PR=

そこで直線Mがx軸に平行なときがa,bの最小値なので直線Mを考えてみると
放物線Cとの交点(-
2
,1
2
),(
2
,1
2
)より
y=0x+1
2
∴直線L:y=-1
0
x+1
2

これはx=0の直線なのでy切片が存在しない

そこで直線Mがy軸に平行なときは存在しないので、直線Mを考えてみると
y=0x+無限なので

答え
aのとりうる値の範囲:a≠0 ,
bのとりうる値の範囲:b>


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