◆大阪府の中学校3年生 IT さんからの解答。
【中学生のための補題】
x2+px+q=0の2解をα,β,より
(x-α)(x-β)=x2-(α+β)+αβ
これは x2+px+q=0と同じなので
α+β=−p,αβ=qが成り立つ。
【問題1】
問題より直線Lは正方形PQRSの対角線なので点P,Rは直線Lに対して反対側にあることになるので、直線Lは放物線Cと交わる点が2つなければならない。
直線Lが放物線Cに接するとき
y=x2とy=ax+bを連立させて
x2=ax+b
x2-ax-b=0
これが (x-p)2に等しいので
p+p=-(-a) 、p×p=-b
2p=a 、p= | a 2 |
a2 4 | =-b |
答え b>− | a2 4 |
【問題2】
面積が1=一辺の長さが1=対角線の長さが
点PRを結ぶ対角線を直線Mとすると、直線Lと直線Mは直角に交わるので
直線Mの傾き - | 1 a |
そこで直線Mがx軸に平行なときがa,bの最小値なので直線Mを考えてみると
放物線Cとの交点(- | 2 |
, | 1 2 | ),( | 2 |
, | 1 2 | )より |
y=0x+ | 1 2 |
∴直線L:y=- | 1 0 | x+ | 1 2 |
そこで直線Mがy軸に平行なときは存在しないので、直線Mを考えてみると
y=0x+無限なので
答え
aのとりうる値の範囲:a≠0 ,
bのとりうる値の範囲:b> | 1 2 |