清川さん、西野さん ごめんなさい。◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
【問題１】
条件つき確率というのでしょうか。
答え ０．５。
【問題２】
１）予想 ○○×○○
２）正解○○×○○ １００点
○○×○× ８０点
○○××○ ８０点
○×○○× ４０点
○×○×○ ４０点
○××○○ ８０点
×○○×○ ４０点
×○×○○ ８０点
求める期待値は、
(１００＋８０×４＋４０×３)×(１／８)＝６７．５
答え ６７．５点。
３）予想 ○×○×○
×○○×○
○×○×○
○×○○×
求める期待値は、
(６０＋１００＋６０)×(１／３)＝２２０／３
答え ７３．３(２２０／３)点。
以上です。勝負ごとは決まった癖があると不利ですね。
◆海外 西野 友朗 さんからの解答。
【問題1：解答】
机の下に転がっていった10円玉が裏になる確率は、もう片方(表の出ている)10円玉とは独立なので、裏になる確率は1/2。
【問題2：解答の準備】
1) ○×式の質問が５問出題されるとき、解答パターンは以下の３２通り(=２5)。
1. ○○○○○ 2. ○○○○× 3. ○○○×○ 4. ○○○×× 5. ○○×○○ 6. ○○×○× 7. ○○××○ 8. ○○××× 9. ○×○○○ 10. ○×○○× 11. ○×○×○ 12. ○×○×× 13. ○××○○ 14. ○××○× 15. ○×××○ 16. ○×××× 17. ×○○○○ 18. ×○○○× 19. ×○○×○ 20. ×○○×× 21. ×○×○○ 22. ×○×○× 23. ×○××○ 24. ×○××× 25. ××○○○ 26. ××○○× 27. ××○×○ 28. ××○×× 29. ×××○○ 30. ×××○× 31. ××××○ 32. ×××××2) このうち、先生の癖から出題されないパターンを除くと：
5. ○○×○○ 6. ○○×○× 7. ○○××○ 10. ○×○○× 11. ○×○×○ 13. ○××○○ 19. ×○○×○ 21. ×○×○○ の8通りになる。【問題2：解答】
(1) 解答するときには、各問題について多い方の答えを書いておく方が、正解する可能性が高くなり有利。
よって：○○×○○
(2)
1問目が正解する確率：6/8 得点の期待値：15.0点
2問目が正解する確率：5/8 得点の期待値：12.5点
3問目が正解する確率：5/8 得点の期待値：12.5点
4問目が正解する確率：5/8 得点の期待値：12.5点
5問目が正解する確率：6/8 得点の期待値：15.0点
よって、総得点の期待値： 67.5点
(3) 3問目が○のパターンは：
10. ○×○○×
11. ○×○×○
19. ×○○×○ の3通りになる。
(1)と同様の考え方で解答すると：
○×○×○ この時の期待値は：
1問目が正解する確率：2/3 得点の期待値：13.3点
2問目が正解する確率：2/3 得点の期待値：13.3点
3問目が正解する確率：3/3 得点の期待値：20.5点
4問目が正解する確率：2/3 得点の期待値：13.3点
5問目が正解する確率：2/3 得点の期待値：13.3点
よって、総得点の期待値： 73.3点 (220/3点)
多分これでいいと思うのですが...。確率問題は、高校のとき一番好きで、一番苦手でした(笑)。
問題が10問だったら、もっとエレガントな解き方を考えなくてはなりませんね。
さて、どうやりましょうか...。
【コメント】
お二人の方からほとんど同時に解答が来ました。
しかも解答は全く同じです。
【問題２】についてはお二人とも正解です。
しかし【問題１】については誤りです。
条件付き確率は常識と一致しないようで難しいですね。
◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
【問題１】
コイン１ 表 表 裏 裏
コイン２ 表 裏 表 裏
裏、裏のパターンがないことが判明した時点で、裏である確率は２／３となるのですね。
◆大阪府 河野 進 さんからの情報。
１年程前に現在、関学中学部の教諭の宮寺さんに教えて頂いたのですが、当時高等部で教えていて「◯×問題」（上の『◯×テスト』の【問題２】（１）の事です。）について話したところ、ある
生徒が、５問となっている問題の数を増やした場合を計算して（２０問位迄だったと思います。）第３問と最後から３番目を×にして残りを全て◯にするのが最も有利という予想を立てたそうです。
正確には７問以上の場合に証明を付けたつもりですが、準備を含めて十数ページの分量になりました。
その証明のために帰納的に定義される４つの数列を準備しましたが一般項を簡単に表記することはできていません。
しかし、その数列自体も面白いと思います。
宮寺さんに１０問から５問飛びで４５問迄の計算結果を貰いましたが、◯である確率が中央に向かって周期３の減衰振動のような変化になっている事に気付きました。
これに付いては今だに証明以前に問題の定式化もできていません。
宮寺さんの話では、「同じ答えが３つ以上続くことはない。」という部分を「同じ答えが n 以上続くことはない。」として n を４以上とすると、全ての問題について◯と答えるのが有利という結果になるということです。
以上良く知られた事かも知れませんが、関連する事や誤りに付いて御指摘下されば嬉しいです。
◆宮城県 あめの さんからの解答。
解答を見て疑問に思ったのですが、【問題１】の答えは 1/2 ではないでしょうか？
２つのコインとも独立事象（というのでしたっけ？）なので、条件付き確率にはならない（意味がない）と思います。
解答が 2/3 となる場合は、以下のような状況ではないでしょうか？
例えば、４枚のカードの表裏に、それぞれ以下のように書かれている場合を考えます。
(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)
ここで、カッコ内の数字が、それぞれ表、裏に書かれた数字を示します。
このカードを袋に入れて、１枚取り出したとき、片面の数字が「0」であったとき、もう片面の数字が「1」である確率。
このときは、 2/3 になると思います。
【コメント】
例えば、コインが２枚とも机の下に転がっていってしまいました。
そのうちの片方が表であると教えてくれた方がいるとすると、もう片方の１０円玉が裏である確率はいくつでしょうか。
という設定にしたらどうなるのでしょう。
◆東京都 eiki さんからの解答。
【問題１】コメントについて
誰かが表だと教えてくれたら、もう一方が裏である確率は２／３だと思います。
しかしひとつが机の上で表になっていたら、もう一方は机の上のコインと関係なく、裏である確率は１／２だと思います。
なんだか『シュレディンガーのコイン』と名づけたくなるくらい混乱しますね。
この違いは、ふたつのコインに区別があるかどうかがポイントなのでしょうか。
【コメント】
私ももろに混乱していました。
詳しくは掲示板の答えを見てください。
清川さん、西野さん ごめんなさい。
◆北海道 N.Chikaoka さんからの解答。
〇×〇×〇 期待値は５点満点で３分の１１点
◆埼玉県 赤ひげ さんからの解答。
【問題１】
裏が出る確率≦０.５
机の上のコインは必ず裏か表がでます。
でも落ちたコインはどうなるか分かりません。
転がっていて何かに挟まって倒れないかもしれません。
もちろん机の上のコインが表でも裏でも床に落ちたコインには何の関係もありません。
【問題２】
条件を満たしているのは
○ × ○ × ○ ○ × ○ ○ × × ○ ○ × ○の３パターンです。
○ × ○ × ○ ○ × ○ ○ × × ○ ○ × ○ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ 2/3○ 2/3× 3/3○ 2/3× 2/3○で 答え
○ × ○ × ○
20+(80×2/3)点
◆東京都 鳳 奥人 さんからの解答。
【問題１】
表とわかっているそのコインの裏表が、もう１枚のコインに影響を与えるとはとても思えないので、普通に1/2だと思います。
一応、場合分けの計算で求めてみます。
２枚のコインに１・２と番号をふっておきます。
１）表であると判明したコインが１である確率(1/2)×その場合にコイン２が表である確率(1/2) ＝1/4
２）表であると判明したコインが２である確率(1/2)×その場合にコイン１が表である確率(1/2) ＝1/4
１）と２）を足せば、全体の確率が出てきます。
よって答えは1/2。
【問題２】
可能な出題パターンをすべて求め、各設問ごとに登場する可能性が高い方の選択肢を並べてみればよいのだと思います。
（１）
出題パターンは
○○×○○ ○○×○× ○○××○ ○×○○× ○×○×○ ○××○○ ×○×○○ ×○○×○以上８通り
で、各設問ごとに登場する可能性が高い方の選択肢を並べると
○○×○○
（２）
20×6/8＋20×5/8＋20×5/8＋20×5/8＋20×6/8＝67.5（点）
（３） 出題パターンは
○×○○× ○×○×○ ×○○×○以上３通り
というわけでヤマをはるなら
○×○×○
期待値は
20×2/3＋20×2/3＋20×3/3＋20×2/3＋20×2/3＝73.33...（点）
けど先生、答えが試験前に生徒に漏れてるってまずいんでは・・・（笑）
◆兵庫県 なみなみ さんからの解答。
【問題１（１）】
得点の期待値の一番高くなる戦略は？ ということであれば、既にある解答例の様に
○○×○○ ・・・（A）で決まりでしょうが、
この場合、確率は低いといえど、（たったの）４０点になってしまう可能性もあるわけです。
（何と３７．５％：これを高いと見るかどうかが、今回の議論のポイントですね）
そのリスクを、回避したい人の場合は、
○○○○○ （全て○） ・・・（B）：答
とするのも、一つの戦略として「あり」ではないでしょうか。
１００点にはなりませんが、必ず６０点以上が見込めます。
（運が良ければ８０点）
このような解答例は、ＨＰには載っていませんでしたが（採用されなかっただけ？）、現実的に、全くサッパリ答がわからない場合、（B）を選択する人も意外と多いのでは？ と思いますが、 いかがでしょうか。