◆広島県 清川 育男さんからの解答。
移動ボタンを左から、１番、２番、３番、・・・、２Ｎ番のボタンとする。
男、女、男、女、・・・・・、男、女の順とする。
【問題１】
２番、５番、８番、１番の順にボタンを押すと４手で並び替えられる。
【問題２】
３人ずつの場合は特殊で４つの空席が必要。
空席をＢで表わす。
男女男女男女ＢＢＢＢ
１） 男女男ＢＢ女女男ＢＢ
２） ＢＢ男男女女女男ＢＢ
３） ＢＢＢＢ女女女男男男
以上、３手で並び替えられる。
５人ずつの場合
２番、７番、４番、１０番、１番の順にボタンを押す。
５手で並び替えられる。
【問題３】
４人ずつの場合
２、５、８、１。
４手。
５人ずつの場合５手。
６人ずつの場合
２、５、１０、６、１２、１。
６手。
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
Ｎ人ずつの場合 ２、．．．．．．．．．２Ｎ、１。
Ｎ手。
Ｎが偶数のとき、２手目は、５。
Ｎが奇数のとき、２手目は、７。
以上が予想される。
【コメント】
ついに正解です。
なんと生徒がＮ人ずつだとＮ回で入れ替え可能なのですね。
ただし、２手目が５，７になるのかは私はまだ確認していません。
入れ替えの方法は一通りではないので、今から考えてみます。
◆広島県 清川 育男さんからの解答。
シミュレーションソフトがあると、問題の意味もよく理解出来るし、考えが整理しやすいですね。
第１手目は、２番のボタンで移動。
（Ｎ＋１）番、（Ｎ＋２）番は、女、男となります。
１番目、２番目は、男、男になるようにする。
（Ｎ−１）手目は２Ｎ番の移動ボタンで移動する。
このとき、２Ｎ番、２Ｎ＋１番は、女、女にしておく。
それらがどこに移動するかはＮにより規定される。
（２Ｎ＋２）番は男。Ｎ手目は１番のボタンで移動。
２Ｎ番、（２Ｎ＋１）番に、男、男が、移動される。
数学的帰納法による証明の準備にあと一歩と自分では思っています。
７人ずつのときは、２、９、６、１１、５、１４、１。（私の考えている方針によると。）
これで、Ｎ人ずつのときの、実際的な移動方法は、推理されると思います。
最初のまま移動しない箇所が、
４人ずつのとき、２。
５人ずつのとき、２。
６人ずつのとき、３。となります。
第２手目はご指摘の通りＮに規定されますね。
【コメント】
やはりこんな問題は数学的帰納法的な証明がベストでしょうね。
人数が増えた分だけを、他に影響を与えないようにして移動すればよいのですから。
Ｎ人ずつの時、「Ｎ手で移動する方法が全部で何通りあるか」という問題を考えても面白そうですね。
◆和歌山県 宮口 祐司さんからの解答。
●▲●▲●▲●▲□□
１） ●□□▲●▲●▲▲●
２） ●●▲▲□□●▲▲●
３） ●●▲▲▲▲●□□●
４） □□▲▲▲▲●●●●
４人ずつのときの解を考えました。
一般的な理由付けはまだできません。
◆和歌山県 宮口 祐司さんからの解答。
空きの場所を無視して、列を見ます。
男女の変化のある境目（これを＋の接続と呼ぶことにします）の数を数えると、男女Ｎ人ずついるなら，最初は（２Ｎ−１）だけあります。
この入れ替えの目的は＋の接続を１つだけにすることです。
つまり、＋の接続を（２Ｎ−２）だけ減らすということです。
ところで、一回の入れ替えで＋の接続を何個減らせるでしょうか。
最短手順ですからできるかぎり多く減らす方法を取らねばなりません。
しかし最初は、端に行くので１個しか減らせません。
それによって、＋の接続は（２Ｎ−３）。
次からはペアの両端の＋の接続を無くしてゆくことができます。
つまり、２個ずつ減らせて，（２Ｎ−４）／２回入れ替えると＋の接続は，残り１つ。
最後の入れ替えを迎えます。
残った一つの＋の接続を無くして、完了！
トータル１＋（２Ｎ−４）／２＋１＝Ｎ回の入れ替えをしたとなるわけです。
【コメント】
これはからめ手から攻めた解答ですね。
私は実際に移動の方法を構成する証明ばかり考えていました。
カエル飛びでは、同じ様な方法も考えていたのに、あまりに頭の固い自分が情けないです。
明解な解答で思わず感心してしまいました。
◆石川県 マイマイプーさんからの解答。
今、男女がＮ人ずついるとします。
●△●△●△●△・・・・●△●△●△●△
これを
●△●△｜●△●△・・・・●△●△｜●△●△（１）
のように３つの部分に分けます。
真ん中の部分は、（Ｎ−４）人ずつです。
（１）からの手順は
●△●△｜●△●△・・・・●△●△｜●△●△
● △｜●△●△・・・・●△●△｜●△●△△●
●●△△｜●△●△・・・・●△●△｜ ●△△●
ここで、数学的帰納法的な方法を用い、（Ｎ−４）人ずつでは可能であると仮定します。
その方法で、（Ｎ−４）手で、真ん中の部分を動かすと、
●●△△｜ △△△△・・・・●●｜●●●△△●
●●△△｜△△△△△△・・・・●●｜●●● ●
△△｜△△△△△△・・・・●●｜●●●●●●
総手数は、２＋（Ｎ−４）＋２＝Ｎ手です。
【コメント】
この解答と宮口さんの解答を合わせると、完全になるのではないでしょうか。
後者の方から、Ｎ手では可能、前者から、少なくともＮ手は必要。
したがって、最小手数はＮ手というわけです。
◆群馬県の小学生 BOMさんからの解答。
図一の答え １６回
図二の答え １９回です。
【コメント】
１６回と１９回でできましたか。すばらしいです。
実際にやってみて、できることが一番大切です。
本当はもっと少ない回数でもできるんですよ。
ぜひ挑戦してみてください。
◆東京都の中学校１年生 りさ さんからの解答。
問い１
右から､５番目､８番目､２番目､９番目､６番目､２番目の順に､移動させる
問い２
右から､５番目､８番目､１１番目､９番目､２番目､１０番目､６番目､１２番目の順に､移動させる
【コメント】
この問題は大人でも難しいのですが、全て確認しましたが確かにできています。
解答をきちんと書いてくれたのが特にすばらしいです。
◆茨城県 Henselian さんからの解答。
意外とわからないのは、○○××という場合だと思います。
この場合、頭を柔らかくすればできますが。
解答：
○○×× → ○○ →○
×× ×
○
×
【コメント】
たしかに２人ずつの場合は例外ですね。
◆京都府の中学校３年生 ビー玉さんからの解答。
図１の解答です。
２・５・８・の順におし、最後に1人めを移動させると、４回で男・女の順にできます。
図２の解答です。
まず、２・５・１０・１の順に、移動させていきます。
それから、女の子を左によせてから、８番目を移動させます。
すると、男の子が２人、女の子がわにおるから、
１１番目を移動させると、８回で、わけられると思います。
◆奈良県の中学校３年生 藻抱 さんからの解答。
【問題１】
2.5.8.1.
【問題２】
2.7.4.10.1.
【問題３】
ｎ回
【感想】
なかなか面白かった。
◆愛媛県の小学生 ∞を考える人 さんからの解答。
最短手かどうかは分からないけど一応
問題１ ６手、問題２ ８手だとおもいます。
やり方は、
問題１ 7-4-1-8-5-1
問題２ 9-6-3-5-1-10-6-1です。
◆和歌山県の中学校３年生 ジュテーム さんからの解答。
６→３→９→２→５→９
◆和歌山県の中学校３年生 まゆまり子☆★ さんからの解答。
７＊５＊９＊４＊７＊２＊５＊９＊２＊５＊７＊２＊６＊３＊８＊４＊７＊９
楽しかった☆
◆千葉県の中学校２年生 パディー さんからの解答。
5→8→4→6→1
◆東京都 天野カツラ さんからの解答。
問１．1-3-6-2-9-3-9-3-9-1-7-4-6-9
問２．2→5→7→3→5→8→4→6→11→5→7→9→11