◆広島県 清川 育男さんからの解答。
【問題１】
最小手順かどうか自信がないのですが、一応出来ました。
１）おけ＞４升
２）４升＞７升
３）おけ＞４升
４）４升＞７升
５）７升＞おけ
６）４升＞７升
７）おけ＞４升
８）４升＞７升
９）おけ＞４升
１０）４升＞７升
１１）７升＞おけ
１２）４升＞７升
１３）おけ＞４升
１４）４升＞７升
１５）おけ＞４升
以上１５手で、７升のマスに６升、４升のマスに４升、計１０升量れる。
最小手順が見つかりました。
１）おけ＞７升
２）７升＞４升
３）４升＞おけ
４）７升＞４升
５）おけ＞７升
以上５手で、７升のマスに７升、４升のマスに３升、計１０升となります。
【問題２】
迷路の問題を解くときの「左手の規則」で一応解けました。
１）おけ＞２３升
２）２３升＞１５升
３）１５升＞おけ
４）２３升＞１５升
５）おけ＞２３升
６）２３升＞１５升
７）１５升＞おけ
８）２３升＞１５升
９）１５升＞おけ
１０）２３升＞１５升
１１）おけ＞２３升
１２）２３升＞１５升
１３）１５升＞おけ
１４）２３升＞１５升
１５）おけ＞２３升
１６）２３升＞１５升
１７）１５升＞おけ
１８）２３升＞１５升
１９）１５升＞おけ
２０）２３升＞１５升
２１）おけ＞２３升
２２）２３升＞１５升
２３）１５升＞おけ
２４）２３升＞１５升
２５）おけ＞２３升
２６）２３升＞１５升
２７）１５升＞おけ
２８）２３升＞１５升
２９）１５升＞おけ
以上２９手で２３升のマスに３升入っている。
最小手順には、再挑戦します。
【問題３】
最も単純化して、「１升ます」、「χます」で考える。
１とχは互に素である。
１升から（１＋χ）升まではかれる。
「２升ます」と「３升ます」、
「２升ます」と「５升ます」と互いに素の場合も上記のことが可能です。
したがって「Aます」と「Bます」では、１升から（A+B)升まではかれると思います。
【コメント】
問題１〜３とも正解です。
実は試行錯誤を使わなくとも、計算で解くことが可能です。
問題３は「互いに素な２つの自然数に対する極めて有名な定理」を用いて示すことができます。
もちろん問題３が解ければ１，２は簡単ですが・・・。
◆広島県 清川 育男さんからの解答。
【問題２】
２３−１５＝８
８＋８＝１６
１６−１５＝１
１＋８＝９
９＋８＝１７
１７−１５＝２
２＋８＝１０
１０＋８＝１８
１８−１５＝３
８＞１６＞１＞９＞１７＞２＞１０＞１８＞３
結果的には最小手順になっていたのでしょうか。
【コメント】
たぶん最小手数ではないかと思います。
解は他にもあるかもしれませんが。
私は２３×２−１５×３＝１なので
２３−１５＋２３−１５−１５＝１
を３回、繰り返して考えました。
◆静岡県 ヨッシーさんからの解答。
【問題３】
仮にＡ＞Ｂとします。
Ａ、２×Ａ、３×Ａ、・・・Ｂ×Ａについて考えます。
これらをＢで割った余りを考えると、ＡとＢは互いに素なので、０〜Ｂ−１の数が、１つずつ現れます。
たとえば、量りたい量（Ｂ未満）が、（ｔ×Ａ）÷Ｂの余りであった場合、
おけ→Ａ、
Ａ→Ｂ（をＡが空になるまで繰り返す）、
Ｂが一杯になったらおけに返す
をｔ回繰り返すことによって、量ることが出来ます。
また、これにＢを加えることにより、１升からＡ＋Ｂ升までの１升きざみの量を量ることが出来ます。
また、Ｂで汲みながら、Ａに移していくという逆の手順もあり得ます。
最短手順かどうかは、上のｔがどちらの方が小さいかで決まりそうです。
（確認していません）
【コメント】
これは「鳩の巣箱の原理」の応用ですね。
実際の方法を構成しているのがすばらしいです。
私はＡ，Ｂが互いに素であるから、
ｍＡ−ｎＢ＝１となる整数ｍ，ｎが存在する。
つまり１升を量ることができるといった証明を考えていました。
最短手数かどうかはまた別の問題でしょう。
◆宮城県 斉藤 誠さんからの解答。
【問題１】
トウィーディーによって考案されたグラフを使って求める方法がありました。
（升と升が同じ漢字なので便宜上Ｌ（リットル）升にしました）
図１のように７Ｌ升にある油の量と４Ｌ升にある油の量、全体の量をグラフ上に表します。
Ｘ軸に平行に座標が移動することは、７Ｌ升の量が変わらないこと、つまり４Ｌ升の油を捨てたり汲んだりする事に相当します。
Ｙ軸は同じく７Ｌ升の油を捨てたり汲んだりする事です。
斜めのピンク線は全体の油の量を表しているので、この線上の移動は升から升への油の移動を表します。
図の矢印方向は７Ｌ升から４Ｌ升に移動することです。
油の移動はどちらかの升が一杯になるか、空になるかのどちらかですので一気にグラフの端から端に移動します。
図２は全体の量が１０Ｌになるところ、◎のところまでの手順です。
どちらも空の状態（０，０）から矢の順に
７Ｌ升に汲む（全量７Ｌ）
７Ｌ升から４Ｌ升に移動（全量７Ｌ）
４Ｌ升を捨てる（全量３Ｌ）
７Ｌ升から４Ｌ升に移動（全量３Ｌ）
７Ｌ升に汲む（全量１０Ｌ）
で（３、７）合計１０Ｌになります。
反対に、始めに４Ｌ升を一杯にすると手順が多くなりますが◎の右斜め下の点に行き着きます。
（４、６）になります。
【問題２】
図が大きくなるのと、清川さんと全く同じ結果になりますので省略します。
反対方向には、１５Ｌ升側から量ると１５Ｌ升の方に
７＞１４＞６＞１３＞５＞１２＞４＞１１＞３
と残りますが、かなり手順が増えます。
【問題３】
升が公約数を持つ場合は（０，０）から始めて公約数の座標だけを通過するが（差が公約数の倍数になる）、升が互いに素であれば必ず全ての地点を通るので升の和の量まで量ることが出来ます。
「数学アイディアパズル」（ＢＵＬＵＥ ＢＡＣＫＳ Ｓ６３年）を参考にしました。
「油わけ算」には全体の量を第３の升に置き換えてグラフを作ることが出来ます。
（というより、本にはこの「油わけ算」の問題がでていました）
なかなか巧妙な方法で関心しました。
参考にしてください。
【コメント】
この図を見れば、一目瞭然といった感じです。
それにしても、問題３の証明は鮮やかですね。
◆福井県の中学校３年生 ikueさんからの解答。
おけ→７升
７升→４升
４升→おけ
７升→４升
おけ→７升
◆栃木県の中学校３年生 さと さんからの解答。
おけ→７，７→４、４→おけ、７→４，おけ→７
＜感想＞
すごく難しかったです。
適当にやったらできてしまったと言う感じでした。
【コメント】
こんな問題は最初は勘で解いてもＯＫです。
答えがでたら、なぜそうなったかもう一度振り返ってみるとよいですね。
７−４＝３とか３＋７＝１０とかいろいろな性質を利用していることがわかると思います。
◆石川県の中学校２年生 ikumi さんからの解答。
【問題１】
おけ→７升
７升→４升
４升→おけ
７升→４升
おけ→７升
◆東京都 まーしー さんからの解答。
【問題１】
おけ→７升を(1)
７升→４升を(2)
４升→おけを(3)とすると
(1)(2)(3)(2)(1)の５手にて１０升となる
【問題２】
おけ→23升を(1)
23升→15升を(2)
15升→おけを(3)とすると
(1)(2)(3)(2)(1)(2)(3)(2)(3)(2)
(1)(2)(3)(2)(1)(2)(3)(2)(3)(2)
(1)(2)(3)(2)(1)(2)(3)(2)(3)
の２９手にて３升となる
【問題３】
おけ→Ａ升を(1)
Ａ升→Ｂ升を(2)
Ｂ升→おけを(3)とすると
（Ａ＞Ｂ）
(1)(2)(3)(2)とし、Ａが空になるまで(3)(2)を繰り返し、Ａが空になったらまた(1)からの手順をすることで、
１からＡ＋Ｂまですべて網羅できる。
◆岐阜県の中学校３年生 そらとぶざぶとん さんからの解答。
【問題１】
まず、「７升」の方に油を入れ、「４升」の方に「７升」から油をいれ、「７升」の方に「３升」残る。
「４升」の方の油を捨て、「７升」の方に残った「３升」の油を「４升」の方に入れる。
そして、「７升」に油を入れれば、「１０升」の油がはかれる。
◆愛知県の高校生 HN青山亮 さんからの解答。
【問題１】
1．おけ→7升
2．7升→4升
3．4升→おけ
4．7升（中身は３升）→４升
5．おけ→７升
以上５手です。
◆愛知県の中学校３年生 ユリ さんからの解答。
おけ→７升
７升→４升
４升→おけ
７升→４升
おけ→７升で、合計１０升になる。
◆岩手県の中学校２年生 JUN さんからの解答。
15手
0-ｵｹ 4-4升 7-7升
0>4､4>7､0>4､4>7､7>0､
4>7､0>4､4>7､0>4､4>7､
7>0､4>7､0>4､4>7､0>4
◆愛知県の中学校２年生 高橋 大志 さんからの解答。
◆神奈川県の小学生 SYUYA BUNDO さんからの解答。
適当にやってたら、ひらめきました。
おけ→７升
↓
７升→４升
↓
４升→おけ
↓
７升→４升
↓
おけ→７升
◆新潟県の中学校３年生 ｓｉ さんからの解答。
【問題２の手順】
お→桶の事です。
２３→２３升のますのこと
１５→１５升ますのこと
お→２３
２３→１５
１５→お
２３→１５
お→２３
２３→１５
１５→お
２３→１５
１５→お
２３→１５
お→２３
２３→１５
１５→お
２３→１５
お→２３
２３→１５
１５→お
２３→１５
１５→お
２３→１５
お→２３
２３→１５
１５→お
２３→１５
お→２３
２３→１５
１５→お
２３→１５
１５→お
という手順だとできます。
まず１５升ますに１をつくってその後また同じ手順で１を作ります。
それを繰り返せば３をつくれます。