『方程式の解の数』解答

◆愛知県の高校生　-ゆうちゃん- さんからの解答。

【問題１】

ｘ＋２ｙ＋３ｚ＝２０
ｘ，ｙ，ｚは非負整数だから０以上である。

よって０≦ｚ≦６である。

• ｚ＝０のとき
  ｘ＋２ｙ＝２０，０≦ｙ≦１０であるので１１個

• ｚ＝１のとき
  ｘ＋２ｙ＝１７，０≦ｙ≦８であるので９個

• ｚ＝２のとき
  ｘ＋２ｙ＝１４，０≦ｙ≦７であるので８個

• ｚ＝３のとき
  ｘ＋２ｙ＝１１，０≦ｙ≦５であるので６個

• ｚ＝４のとき
  ｘ＋２ｙ＝８，０≦ｙ≦４であるので５個

• ｚ＝５のとき
  ｘ＋２ｙ＝５，０≦ｙ≦２であるので３個

• ｚ＝６のとき
  ｘ＋２ｙ＝２，０≦ｙ≦１であるので２個

以上より　４４個

【問題２】

ｘ＋２ｙ＋３ｚ＝ｎ

問題１から次の規則性が見える。

• ｘ＋２ｙ＝２ｋで表される時　その解の個数はｋ＋１

• ｘ＋２ｙ＝２ｋー１で表される時
  その解の個数は{(２ｋー１)＋１｝÷２＝ｋ

また、問題１のようにｚを固定させることによって考える手法をとると

ｎ＝３ｍ＋２の時、個数は
　２＋３＋５＋６＋８＋９＋・・・・・・・・
＝(２＋５＋８＋・・・)＋(３＋６＋９＋・・・)となる

ｎ＝３ｍ＋１の時、個数は
　１＋３＋４＋６＋７＋９＋１０＋・・・・・
＝(１＋４＋７＋・・・)＋(３＋６＋９＋・・・)となる

ｎ＝３ｍの時、個数は
　１＋２＋４＋５＋７＋８＋１０＋・・・・・
＝(１＋４＋７＋・・・)＋(２＋５＋８＋・・・)となる

よって、

ｎ＝６ｍ　　　の時、個数は３(ｍ＋１)(ｍ＋１)−３ｍ−２
ｎ＝６ｍ＋３　の時、個数は３(ｍ＋１)(ｍ＋１)
ｎ＝６ｍ＋１　の時、個数は３(ｍ＋１)(ｍ＋１)−２ｍ−２
ｎ＝６ｍ＋４　の時、個数は３(ｍ＋１)(ｍ＋１)＋ｍ＋１
ｎ＝６ｍ＋２　の時、個数は３(ｍ＋１)(ｍ＋１)−ｍ−１
ｎ＝６ｍ＋５　の時、個数は３(ｍ＋１)(ｍ＋１)＋２ｍ＋２

◆東京都　かえる さんからの解答。

m �� k=1

k*x(k) =nの非負整数解の個数をＩ（ｍ，ｎ）と置く

【問題３】

Ｉ（ｍ，ｎ）＝

[n/m] �� t=0

Ｉ（ｍ−１，ｎ−ｍｔ）・・・【答】

【問題２】

　Ｉ（３，ｎ）

＝

[n/3] �� t=0

Ｉ（２，ｎ−３ｔ）

＝

[n/3] �� t=0

{［

ｎ−３ｔ ２

］＋１}・・・【答】

【感想】

これ以上簡単にするには、６で割った余りで場合分けするのでしょうか・・・。

【問題１】

Ｉ（３，２０）＝

6 �� t=0

{［

２０−３ｔ ２

］＋１}＝４４・・・【答】

◆出題者のコメント。

皆さん回答ありがとうございます。
どちらも正解ですが、もう少し簡潔な表記にすることが可能です。
ガウス記号を用いてもかまいませんし、四捨五入する操作を記号化してもかまいません。
なので、もう少し簡易な表記はできないでしょうか。

たとえば問題２の答えとして

(n+3)2 12

に最も近い整数、という答えを出すとか。

数列の規則性に注目して-ゆうちゃん- さんの答えから場合分けを外す事もできますし、いくらか考えられると思うので、がんばってください。

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