◆石川県 数学好き さんからの解答。
Ｎ＝２の時は１個。
Ｎ＝３の時は５個。
Ｎ＝４の時は１５個。
（９＋３＋１＋２）
Ｎ＝５の時は３５個。
（１６＋７＋３＋１＋６＋２）
以下は予想。
Ｎ＝６の時は６５個。
Ｎ＝７の時は１０５個。
以上の結果をまとめると
Ｎ＝２の時は１個。
Ｎ≧３の時は、５（Ｎ2−５Ｎ＋７）個と予想できる。
【コメント】
さて、この予想は正しいでしょうか。
全国からのご意見をお待ちしています。
◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
三角形の個数をＳとする。
| Ｓ＝ | １ ―― ３ | × | (２ｎ−３)×(ｎ2−３ｎ＋５) |
ｎ＝２のとき Ｓ＝１。
ｎ＝３のとき Ｓ＝５。
ｎ＝４のとき Ｓ＝１５。
ｎ＝５のとき Ｓ＝３５。
ｎ＝６のとき Ｓ＝６９。
ｎ＝７のとき Ｓ＝１２１。
証明はできませんがこのように推理されます。
【コメント】
さて、また違った解答が来ました。
興味のある方、ぜひ確認してみてください。
◆東京都 goya さんからの解答。
(１つの頂点の石と隣接する石との長さをαで表わすと)
元の正三角形に含まれる上向きの正三角形の数は
・１辺の長さがαの正三角形の数は
最上段には１個、２段目には２個、・・・(Ｎ−１)段目(最下段)には(Ｎ−１)個ありますから
合計 Ｎ（Ｎ−１）÷２個
・同様に１辺の長さが２αの正三角形の数は
合計 （Ｎ−１）（Ｎ−２）÷２個
・１辺の長さがｍαの正三角形の数は
合計 （Ｎ＋１−ｍ）（Ｎ−ｍ）÷２個
また、それぞれの(ｍ＞２の)正三角形には図の様に辺上の同じ条件の位置にある石を結ぶことで(ｍ−１)個の正三角形ができます。
つまり、１辺の長さがｍαの正三角形には、その正三角形を含めるとｍ個の正三角形ができます。
以上から、１辺にＮ個の点がある正三角形の中にできる正三角形の総和は
| N-1 Σ a=1 | (Ｎ＋１−ａ)(Ｎ−ａ) ――――――――――― ２ |
ａ |
Ｎ＝２の時 １個 Ｎ＝３ ５ Ｎ＝４ １５ Ｎ＝５ ３５ Ｎ＝６ ７０ Ｎ＝７ １２６
【コメント】
Ｎ＝４の時は、
1×(4×3)/2＋2×(3×2)/2＋3×(2×1)/2=15
Ｎ＝５の時は、
1×(5×4)/2＋2×(4×3)/2＋3×(3×2)/2＋4×(2×1)/2=35
Ｎ＝６の時は、
1×(6×5)/2＋2×(5×4)/2＋3×(4×3)/2＋4×(3×2)/2＋5×(2×1)=70
というわけですよね。
なかなか美しい式ですね。
Σの式の計算方法は私はまだ確認していません。
◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
Ｎ＝２ １。 Ｎ＝３ ５。 Ｎ＝４ １５。 Ｎ＝５ ３５。 Ｎ＝６ ７０。 Ｎ＝７。 １２６。正三角形の個数をＳとする。
| Ｓ＝ | １ ――― ２４ | × | (Ｎ−１)Ｎ(Ｎ＋１)(Ｎ＋２) |
以上が予想されます。
今度は大丈夫だと思いますが、証明はまだです。
○補足
連続した４つの自然数の積は２４の倍数であるから、Ｓは自然数になる。
【コメント】
これはgoya さんの答えとも一致しているし、正しいような気がします。
うまく証明できるのでしょうか？
◆石川県 マイマイプー さんからの解答。
Σの式の計算です。
| N-1 Σ a=1 | (Ｎ＋１−ａ)(Ｎ−ａ) ――――――――――― ２ |
ａ |
| ＝ | 1 ― 2 | × | N-1 Σ a=1 | (aN2-2a2N+aN-a2+a3） |
| ＝ | 1 ――― ２４ | × | (Ｎ−１)Ｎ(Ｎ2＋３Ｎ＋２) |
| ＝ | １ ――― ２４ | × | (Ｎ−１)Ｎ(Ｎ＋１)(Ｎ＋２) |