◆広島県 清川 育男さんからの解答。
【問題１】
短針は６０分で、３０度動く。したがって１分に１／２度。
長針は６０分で、３６０度動く。
１分に ６度。
χ分後に重なるとする。
３６０−（６−１／２）×χ＝０
１１／２×χ＝３６０
χ＝６０＋６０／１１
・１回目 １時 ６０／１１分
・２回目 ２時 １２０／１１分
・３回目 ３時 １８０／１１分
・４回目 ４時 ２４０／１１分
・５回目 ５時 ３００／１１分
・６回目 ６時 ３６０／１１分
・７回目 ７時 ４２０／１１分
・８回目 ８時 ４８０／１１分
・９回目 ９時 ５４０／１１分
・１０回目 １０時６００／１１分
・１１回目 １１時６６０／１１分＝１２時
上記の時刻に、１１回重なる。
来る日も来る日も、壊れるまで。
【問題２】
１１／２×χ＝１００
χ＝２００／１１
題意から
２４０／１１＋２００／１１＝４４０／１１
答え ４時４４０／１１分
【問題３】
１１／２×χ＝９０
χ＝１８０／１１
２４０／１１＋１８０／１１＝４２０／１１
答え ４時４２０／１１分
【コメント】
はい、完全な正解です。
問題２は４時４０分ですが、よしとしましょう。
この問題は別解がたくさんあるので、他の考え方をした方はまたメールをください。
ところで「来る日も来る日も、壊れるまで。」という一言が、私は妙に印象に残りました。
まるで自分のことを言われているような。
サラリーマンはつらいですね・・・ (^_^;。
◆広島県 清川 育男さんからの解答。
【問題４】
短針は１時間に３０度動く。
１分間に０．５度。
１目盛りは６度。
６／０．５＝１２（分）
長針が、０、１２、２４、３６、４８のとき、短針は、目盛り上にある。
短針の位置をＮとする。Ｎは０〜６０の整数。
長針（Ｔ）の位置をＮで表わす。
Ｔ＝１２×（Ｎ mod ５）。
Ｔは、０，１２，２４，３６，４８をくりかえす。
題意から求める時刻の予想は、
答え ２時１２分。９時４８分。
【コメント】
もちろん正解です。
長針の位置を式で表したのがすばらしいですね。
これはなかなか面白い問題ですね。
◆広島県 清川 育男さんからの解答。
【問題５】
問題１のとき、０時０分０秒からスタートして、７２０／１１分ごとに、長針と短針が重なる。
これを秒に換算すると、４３２００／１１秒ごとに重なる。
短針、長針、秒針が、題意の条件で重なる為には、その必要条件として、短針と長針が重なっている必要がある。
４３２００＝２6×３3×５2。
したがって１１とは互いに素である。
１１回目に重なる１２時（０時）のときだけ、３針は重なる。
したがって、それ以外の時刻で３針が重なることは出来ない。
正確な時計であれば。
【問題６】
１秒単位とあるから題意から角度は、０〜３６０の整数と理解する。
短針が１度移動する間（２分間）に長針は１２度、秒針７２０度（２回転して０度）となる。
したがって、短針と長針が整数の角度になるとき、秒針は０度であるから、この問題は、
「短針、長針の２つの角度から、時刻が特定出来るか。」という問題になる。
短針の角度をＴ、長針の角度をＭとする。ＭをＴで表現する。
Ｍ＝１２×（Ｔ mod ３０）となる。０≦Ｔ≦３６０。
例えば、Ｔ＝２５３のとき、２５３ mod ３０＝１３。１２×１３＝１５６。
短針は０．５度／分、長針は６度／分、それぞれ移動する。
２５３×２／６０＝８＋２６／６０。６×２６＝１５６。
短針２５３度、長針１５６度、秒針０度のとき、８時２６分０秒となる。
このようにして、時刻を特定することが出来る。
【コメント】
短針の角度から、長針と秒針の角度を特定できることは分かりました。
しかし長針と短針のなす角度だけから、長針と秒針の角度を特定できるのでしょうか。
もちろんできると思うのですが、若干説明がいるのではないでしょうか。
例えば、短針と長針のなす角度が９７度から、８時２６分０秒とだせますか？
（簡単にできるのかな？）
◆広島県 清川 育男さんからの解答。
【問題６補足】
秒針の存在はぜひとも基準点として必要ですね。
コメントにもあるように、厳密に長針と短針の角度だけでは、相対的になりますが、秒針は０度の基準点として、暗黙に使っていました。
２５３度とあるのは、秒針と短針のなす角度。
１５６度とあるのは、秒針と長針のなす角度。
短針と長針のなす角度は、２５３−１５６＝９７（度）。
３針のなすそれぞれの角度から時刻は特定できます。
【コメント】
細かいことをいってすいませんでした。 今度は完全だと思ったら、次の指摘が来ました。
【出題者のT.Hirose さんからのコメント】
問題５については正解です。
非常にスマートな解答でビックリしました。
問題６の解答が間違ってます。
なぜ「角度が整数」なのですか？？
確かに「時刻は１秒刻みで数える」とは書きましたが、「角度は整数にする」とは書いていません。
きっちりと端数まで計ってください。
もう少し詳しく説明します。
秒針は ６ （度/秒）、
長針は １／１０（度/秒）
短針は １／１２０（度/秒）
のスピードで動くわけですから、例えば１２時０分１秒だとすると、
長針と短針のなす角度は １／１０−１／１２０＝１１／１２０度
長針と秒針のなす角度は ６−１／１０＝５９／１０度
短針と秒針のなす角度は ６−１／１２０＝７１９／１２０度
となります。
僕が聞きたいのはこのような（１１／１２０ , ５９／１０ , ７１９／１２０) という３つの数の組が与えられたときに、
（そのような時刻が存在することはあらかじめ仮定しておくとして）、
時刻が１２時０分１秒と特定できるかどうか、
すなわち、１２時０分１秒以外の時刻で、３つの角度がこれと同じになるようなものが存在しないかどうかです。
◆広島県 清川 育男さんからの解答。
１秒単位では問題５の結論は、３針は重ならない。
したがって、この問題は確定出来るとなる。
もし３針が重なると１０回、３針が重なった状態で、角度の関係がクリアされてしまうが、そうでないので手がかりを残す。
それを元に、確定できる。
１２時の位置を基点にそれと秒針とのなす角度をＳ、長針との角度をＭ、短針との角度をＴとする。
１２時間＝４３２００秒。Ｎを０〜４３２００の整数とする。
Ｓ、Ｍ、ＴをＮで表現する。
０時０分０秒のとき、Ｎ＝０、Ｓ＝０、Ｍ＝０。Ｔ＝０とする。
Ｓ＝６×（Ｎ mod ６０）。
Ｍ＝１／１０×（Ｎ mod ３６００）。
Ｔ＝１／１２０×Ｎ。
問題の３つの角度は、｜Ｓ−Ｍ｜、｜Ｓ−Ｔ｜、｜Ｍ−Ｔ｜となる。
３針の位置関係から、Ｓ、Ｍ、Ｔの３元１次方程式が、６通り出来る。
この中からＳ＋Ｍ＋Ｔの値から可能な方程式は２通りにしぼられる。
しかしながら、これらの３元１次方程式は、不定方程式となる。
３針の先行状態がわかれば、１つにしぼられるが、それにしても不定方程式。
出題者の意図がこれで理解出来ました。
ここで原点に帰り、Ｎについての１元１次方程式に戻す。
Ｎは０〜４３２００。
「こういう時刻」があれば、Ｎで表現できる。
したがってＮに対応したＳ、Ｍ、Ｔがあり、Ｓ、Ｍ、Ｔの関係式を満たすＮが１つ存在する。
実際に解くのは大変ですが。
以上です。
解答になっているでしょうか。
◆広島県 清川 育男さんからの解答。
【問題６について】
誤りに気がつきました。
３元１次方程式（不定方程式になる。）は２通りの可能性がありますが、それぞれに、題意を満たす解があります。
例としてあげられた、１２時０分１秒（０時０分１秒とする。）のそれぞれのなす角度の組みからもう１つの解、１１時５９分５９秒も題意をみたします。
１２０倍して整数にして（分母を１２０にして分子で考える。）プログラムを組んでコンピュータに解かせてみました。
Ｎ＝０〜４３２００。
解１＋解２＝１２（時）。Ｎ＝１。Ｎ＝４３１９９。
１＋４３１９９＝４３２００。Ｎ＝７７７。０時１２分５７秒。
４３２００−７７７＝４２４２３。１１時４７分３秒。
以上の様に解が２つあり、その関係は、それぞれの時刻を足すと１２時となります。
したがって厳密に言えば一通りとして確定出来ないことになります。
面白い問題ですね。だれか厳密な証明をお願いします。
◆東京都 Ｙ．Ｍさんからの解答。
【問題６】
存在すれば一意に定まる。
そのような時刻が存在する(例えば09:48:00)と仮定して、３針の間の角度を与えた場合、別の時刻(例えば11:59: 11 >> 本当はそうなってはいない!)でもこの３針の間の角度が一致したとする。
すると、この別の時刻から仮定した時刻分だけ前の時刻(この場合、11:59:11から09:48:00前の2:11:11)で は、３針が一致しなければならない。
ところが[問題5]より３針が一致するのは12:00:00だけなので矛盾する。
よって上の結論となる。(「秒単位」の条件は???)
ところで、一意性の証明だけにしましたが、
【コメント】
これは計算もほとんどいらない素晴らしい証明ですね。
存在の条件と、解法については問題の中には入っていません。
かなり困難な問題になるでしょうね。
でも実はかなり興味があるので、取り組んでくださる方がいるのを期待しています。
◆東京都 Ｙ．Ｍさんからの解答。
【問題６の存在の条件と解法について】
まず、
秒針: ６(度/秒)、
長針: １／１０(度/秒)、
短針: １／１２０(度/秒)で連動しながら動きます。
これにより、(長針)−(短針)の角度を指定すると、(秒針)−(短針)は自由に設定することができません。
実際、(長針)−(短針)＝０、すなわち短針と長針が一致する時刻は、[問題１]にもあるように１１回しかありません。
つまり、これに対応する(秒針)−(短針)の角度は、１１通りしか存在しないということになります。
(ちなみに、[問題１]の清川さんの解答より、この時の(秒針)−(短針)の角度は、すべて異なっています。.....たぶん)
短針と長針が一致しない任意の角度のときも同様で、(長針)−(短針)＝χ(度)とすると、１２０×χ／１１秒後に短針と長針が一致するので、この時の(秒針)−(短針)の角度は、上の１１通りのどれかに一致しているはずです。
逆に短針と長針が一致するこの１１通りの時刻からそれぞれ１２０×χ／１１秒前の時刻だけでしか、(長針)−(短針)＝χ(度)にはならないはずです。
このことから、この問題の「存在の条件」と「解法」は次のようになります。(定式化することは省略)
与えられた(長針)−(短針)＝χ(度)、(秒針)−(短針)に対して、例えば１２０×χ／１１秒後(短針と長針が一致すれば他の時刻でもいい)の(秒針)−(短針)の角度が、短針と長針が一致する１１通りの場合 の(秒針)−(短針)の角度のどれかに一致すれば、対応する時刻が存在します。
実際、(秒針)−(短針)の角度が一致した場合、それに対応する短針と長針が一致した時刻もわかるので、その時刻から１２０×χ／１１秒前が求める時刻となります。
[例] (長針)−(短針)＝６(度)、(秒針)−(短針)＝２９４(度)(＝−６６(度))の時
−（１／１０）×ｓ＋６＝−（１／１２０）×ｓより
ｓ＝７２０／１１＝６５＋５／１１秒前に短針と長針が一致する。
このとき
(秒針)−(短針)
＝２９４−（５＋５／１１）×６＋（７２０／１１）×（１／１２０）
＝２８８０／１１(度)となる。
これは短針と長針が一致する２時１２０／１１分＝２時１０分６００／１１秒の時の
(秒針)−(短針)の角度
＝（６００／１１）×６−（３６０／１１）×２
＝２８８０／１１(度)に一致する。
よって与えられた角度に対応する時刻は存在し、実際その時刻は、
２時１０分６００／１１秒から７２０／１１秒後の２時１２分００秒である。
◆広島県 清川 育男さんからの解答。
【問題６】
３針の整数秒単位での重なりを考える。
[ ]はガウスの記号。
分母を１２０に通分して分子の数の関係で考えるために１２０倍する。
解１の時、Ｎ＝Ｎ１。
解２の時、Ｎ＝Ｎ２＝４３２００−Ｎ１。
Ｎ１＋Ｎ２＝４３２００。
０時（１２時）、１時、２時、３時、４時、５時、６時、７時、８時、９時、１０時、１１時ちょうどの１２通りの場合は確定する事が出来るが、それ以外の場合は、２通りの時刻が上記の関係で存在可能となる。
（Ｐ１，Ｐ２，Ｐ３）が与えられたとき、その解法は、
｜Ｓ−Ｍ｜＝Ｐ１．．．１）。
｜Ｓ−Ｔ｜＝Ｐ２．．．２）。
｜Ｍ−Ｔ｜＝Ｐ３。．．．３）
１）、２）、３）の関係を満たすＮについての１元１次不定方程式を解く事になる。
Ｎは０〜４３２００の整数。
◆広島県 清川 育男さんの疑問点。
Ｙ．Ｍさんの背理法を使われた証明に疑問点があります。
３針が重なるのは、０時（１２時）の１回だけだから、一様に定まるとありますが、それはあくまでも整数秒単位での事で（実際の時計でも秒針は１秒単位で動きます。そういう意味では、アナログ時計と言っても、デジタル時計です。）連続性の時間のなかでは、重なっていると思います。
したがって矛盾は生じないと思います。
如何なものでしょうか。
ところで、「一様に決まる」というのは正解なのですか。
先生のコメントによると正解のようですが。長針と秒針が重なる０〜１１時ちょうどのときは一様に決まると思いますが、それ以外の場合は２通りあると思うのですが。
０時０分１秒の角度のセットと１１時５９分５９秒のそれとは、同じになりませんか。
私が「角度の決め方」を誤解しているのでしょうか。
例としてあげておられる、０時０分１秒。（１１／１２０，５９／１０，７１９／１２０）。
Ｎについての１元１次不定方程式の解法。
短針と長針のなす角度は、１１／１２０。１２０＝２3×３×５。
分子と分母は互いに素。したがって分子は１１の倍数になる。
例えば、０時１分１秒。
１／１０×６１＝６１／１０。
１／１２０×６１＝６１／１２０。
６１／１０−６１／１２０
＝（６１×１２）／１２０−６１／１２０
＝（６１×（１２−１））／１２０
＝（６１×１１）／１２０。
１）０時（１２時）、１時、２時、３時、５時、６時、７時、８時、９時、１０時、１１時ちょうど以外の場合。
Ｎ１＝（６１×１１）／１１＝６１。
Ｎ２＝４３２００−６１＝４３１３９。
２）何時（０〜１１）ちょうどの場合。
たとえば、３時０分０秒。
６×（１０８００ mod ６０）＝０。
１／１０×（１０８００ mod ３６００）＝０。
１／１２０×１０８００＝９０。
９０−０＝９０。
（９０，０，９０）。
９０／３０＝３。３時０分０秒。
この場合は１１の倍数にならない。
問題５と問題６がペアになっている興味深い問題ですね。
◆広島県 清川 育男さんからの解答。
【問題６】
Ｙ．Ｍさんが例としてあげられた、２時１２分０秒は一様にきまります。
一様に決まる場合の拡張を迫られました。
実験の結果をもとに今までの解答を修正します。
Ｎは０〜４３２００の整数。０時０分０秒からの経過秒数を表わす。
時計１で特定出来た時刻をセットして 時計２で仮に同じ角度の条件を満たす時刻をセットしたとします。
時計１の方は０時０分０秒まで戻します。
反時計回りに。
時計２の方は時計回りに１２時０分０秒まで進めます。
逆戻りした時間と進めた時間が同じであれば、なにも矛盾なく０時と１２時で３針を重ねることが可能です。
如何なものでしょうか。
Ｎ１＋Ｎ２＝４３２００。
それが可能な時間の関係になります。
◆東京都 Ｙ．Ｍさんからの解答。
(1) ３針の間の角度の指定について ---
３針の位置関係は一般に足して12:00:00になる2つの時刻で、文字盤の１２と６(目盛の０と３０)に対して線対称になりますが、問題文により、3:00:00と9:00:00の３針の間の角度は異なるものとするとあるので、例えば指摘している0:00:01と11:59:59や[問題4]の答えである2:12:00と9:48:00などの３針の間の角度は、それぞれ異なったものであると解釈しておきました。
この方がこの問題では都合がいいと思います。
(2) 連続的な時間の中では、12:00:00以外でも３針が重なる時刻があるのではという点について ---
一見そんな感じもするかもしれませんが、清川さん自身が[問題５]で指摘しているように３針が重なるためには、まず短針と長針が重なる必要があり、その時刻を実際に[問題1]の解答で挙げてありますが、12:00:00以外では、秒針はいずれも短針と長針には一致していません。
これはそもそも３針がいかなる瞬間においても連動しているために、整数秒単位で時刻を指定するかどうかに関係なく、短針と長針のなす角を決めると(当然重なる場合も含めて)、許される短針と秒針の角は離散的に(しかも、たった１１通り)しか存在しないからです。(*)
このことから、出題者が[問題５][問題６]で出した整数秒単位で時刻を指定するという条件はあまり意味のない気がします。
なお、私自身が送った[問題６]の一意性の証明の中の「[問題５]より...」の[問題５]はこの条件を除いています。
整数秒単位という条件を除いて再び[問題５][問題６]の結論をみると、(１２時間の間)いかなる瞬間においてもアナログ時計の３つの針は相対的に同じ位置関係になることはない、つまりすべて違った顔(?)を見せることになるのでしょうか? (**)
(*) それでも、12:00:00以外で３針が重なる瞬間を見たことがあるぞ、いう人は、その時計の時刻を設定した際、秒針が数字の１２にない時に長針を目盛の上に合わせたからです。
(設定では秒針は、短針・長針と連動しない)
(**) その気になれば、丸い形で不親切にも目盛と数字が書いていない(つまり上がどこなのかわからない)アナログ時計でも時刻を正確に読むことができるということになるのでしょうか？
(もっとも(*)のような時計ではだめだけど)
【コメント】
問題の意味からいって、角度についてはこの解釈が正しいと思われます。
整数秒単位というのは、話しを簡単にするためのものではないでしょうか。
一意性の証明には、必要はなさそうです。
【出題者のT.Hirose さんからのコメント】
問題５における「時刻は秒単位で」という条件は必要ありませんでした。
したがって問題６においてもこの条件は不要になります。
◆広島県 清川 育男さんからの解答。
Ｙ．Ｍさんの解答で、
１）角度指定について３針のなす顔と言う表現、（３針の先行状態が違えば別の顔）でこの問題を規定すると、指摘の通りです。
一様にきまります。
２）連続性については、私の理解不足による見当違いの疑問でした。
１）の角度指定（３針のなす顔）ということになると、Ｙ．Ｍさんの解答が正しいですね。
納得しました。
そうなれば、解法の一般解の問題が残された課題ですね。
Ｙ．Ｍさん、解りやすい解答ありがとうございました。
問題６
Ｎを経過秒数とする。角度の指定はＹ．Ｍさんの定義による。
１）秒針−短針。２）長針−短針。とする。
Ｓ＝６×（Ｎ−[Ｎ／６０]×６０）。
Ｍ＝１／１０×（Ｎ−[Ｎ／３６００]×３６００）。
Ｔ＝Ｎ。
Ｓ（秒針）、Ｍ（長針）、Ｔ（短針）は０時（１２時。）を基点としたときの角度とする。
[ ]はガウスの記号。
イ）例えばＮ＝２５８３１の場合。（Ｎは１１の倍数でない場合。！！！）
Ｓ＝６×３１＝１８６。
Ｍ＝６３１／１０。
Ｔ＝２５８３１／１２０。
１）１８６−２５８３１／１２０＝−３５１１／１２０。
−３５１１／１２０＋３６０＝３９６８９／１２０。
２）６３１／１０−２５８３１／１２０＝−１８２５９／１２０。
−１８２５９／１２０＋３６０＝２４９４１／１２０。
（長針−短針，秒針−短針）＝（２４９４１／１２０，３９６８９／１２０）が与えられたとき、Ｎを求める。
それを元に時刻を特定する。
分母を１２０にする。分子で考える。
３６００×χ＋１１×Ｙ＝２４９４１．．．．．．．．．．．．．．１）。
０≦χ≦１１。０≦Ｙ≦３５９９。χ、Ｙ整数。
２元１次不定方程式の整数解を求める。
χ＝５。Ｙ＝６３１。
３６００×５＋１１×６３１＝２４９４１。
求めるＮは、Ｎ＝３６００×（１２−χ）＋Ｙ．．．．．．．．．．２）。
Ｎ＝３６００×（１２−５）＋６３１＝２５８３１。
[２５８３１／３６００]＝７。
２５８３１−３６００×７＝６３１。
[６３１／６０]＝１０。
６３１−６０×１０＝３１。
求める時刻は７時１０分３１秒となる。
ロ）Ｎが１１の倍数のとき
χ、Ｙについての２元１次不定方程式の整数解を求める。
（１２１−３×χ）＋１２１×Ｙ＝４２３４７．．．．．１）。
０≦χ≦１０
０≦Ｙ≦３５６
[４２３４７／１２１]＝３４９。Ｙ＝３４９。
４２３４７−１２１×３４９＝１１８。
１２１−３×χ＝１１８。χ＝１。
Ｎ＝３９２７×χ＋１１×（Ｙ＋１）．．．．．．．．．２）。
Ｎ＝３９２７×１＋１１×（３４９＋１）＝７７７７。
[７７７７／３６００]＝２。
７７７７−３６００×２＝５７７。
[５７７／６０]＝９。５７７−６０×９＝３７。
Ｎ＝７７７７のとき、求める時刻は、２時９分３７秒です。
イ）、ロ）とも（長針−短針）の角度しか使っていない。
問題にある整数秒単位では、３針が重なるのは０時（１２時）のときだけであり、かつ長針と短針も整数秒単位では、重ならない。
したがって、この問題は、（長針−短針）の角度さえ判れば一様に時刻を特定することが可能です。
以上です。
やっとスッキリしました。それにしても興味深い問題でした。
◆東京都 鳳 奥人 さんからの解答。
【問題１】
ｎ時０分≦現在時刻＜（ｎ＋１）時０分
（ｎは０以上１１以下の整数）・・・という区分にして考えると、
「０時と１２時のあいだ」ということは、０時と１２時はカウントに入れないのですね？
ということは、ｎ＝０のときは０時がカウントされないから０回。
で、ｎ＝１１のときも０回ですね。
重なったと思ったら12時ですから。
あとは、ｎの各値について１回ずつ。よって１０回。
それぞれの時刻ですが、長針は１分で６度、
短針は１分で0.5度（１時間で30度）進むので
「分」の数字をｘ（もちろん０≦ｘ＜６０）、
針の位置を１２時の目盛りから時計回りに数えた角度でｙとして表すと
長針：ｙ＝６ｘ
短針：ｙ＝0.5ｘ＋30ｎ
この連立方程式を、ｎが１から１０までのそれぞれの場合について解けばいいわけです。
| すると、ｘ＝ | 60 11 | ｎになるので、 |
ｎ＝１→ ｘ＝ 5.45... →１時５分27...秒
ｎ＝２→ ｘ＝10.90... →２時10分54...秒
ｎ＝３→ ｘ＝16.36... →３時16分21...秒
ｎ＝４→ ｘ＝21.81... →４時21分49...秒
ｎ＝５→ ｘ＝27.27... →５時27分16...秒
ｎ＝６→ ｘ＝32.72... →６時32分43...秒
ｎ＝７→ ｘ＝38.18... →７時38分10...秒
ｎ＝８→ ｘ＝43.63... →８時43分38...秒
ｎ＝９→ ｘ＝49.09... →９時49分５...秒
ｎ＝10→ ｘ＝54.54... →10時54分32...秒
です。（秒の小数点以下は省略）
【問題２】
上の連立方程式を応用して考えます。
ｎ＝４ですね。
６ｘ−(0.5ｘ＋120)＝１００ →ｘ＝４０
答え：４時４０分
【問題３】
同様に ６ｘ−(0.5ｘ＋120)＝９０ →ｘ＝38.18181...
答え：４時３８分
【問題４】
６ｘ−(0.5ｘ＋30ｎ)＝±６ を満たす自然数ｘ、ｎ
（０≦ｘ＜６０、０≦ｎ＜１２）を求めるわけですね。
これはｎの各値についてｘを求めてみればわかることですが
題意を満たすのはｎ＝２、ｘ＝１２のときだけです。
というわけで２時１２分。
【問題５】
問題１の計算結果で、分と秒が同じ数字になっているのを探せばいいのだと思いますが・・・ないですね。
（計算が違ってたらどうしよう）
【問題６】
ｈ時ｍ分ｓ秒に、１２の目盛りと短針がなす角（時計回り）をＨ、長針がなす角（同様）をＭ、秒針がなす角をＳとすると、
Ｓ＝６ｓ
| Ｍ＝ | 1 10 | ｓ＋６(ｍ−１) |
| Ｈ＝ | 1 120 | ｓ＋ | 1 2 | (ｍ−１)＋３０(ｈ−１) |
短針と長針がなす角はＨ−Ｍ
長針と秒針がなす角はＭ−Ｓ
秒針と長針がなす角はＳ−Ｍ
これらを連立させてＨ、Ｍ、Ｓの各値を求め、その後、Ｓからｓを求め、ここからｍ、さらにｈを求めればいいのではないかと思うのですが。
問題は、たとえば「短針と長針がなす角」はひょっとするとＭ−Ｈの可能性もあるってことですよね。
◆大阪府 ゆたか さんからの解答。
【問題１】
０時から１２時までの１２時間の間に、短針は１回転，長針は１２回転します。
したがって、この間に長針は短針に、１２−１＝１１回追いつくことになります。
長針が短針に追いつくとは、すなわち２針が重なるということですから、重なる回数は１１回です。（１２時を含む）
また、２針の回転の速さはそれぞれ一定ですから、１度重なってから次に重なるまでの時間は一定です。
よって、２針の重なる時刻は、
| 12 11 | ×Ｎ（時） ただし、Ｎ＝１，２，３，・・・，11 |
【問題６】
求める時刻Ｔ（時）の範囲を、０時≦Ｔ＜１２時とします。
この範囲で長針と短針の重なる時刻は、
| 12 11 | ×Ｎ（時） ただし、Ｎ＝０，１，２，・・・，10 です。 |
また、１２時間の間に秒針は６０×１２＝７２０回転します。
したがって、秒針は長針に、７２０−１２＝７０８回重なります。
その時刻は、
| 12 708 | ×Ｍ（時） ただし、Ｍ＝０，１，２，・・・，707 です。 |
さて、短針と長針、長針と秒針のなす角度が与えられるわけですが、この角度の単位を「周」とします。
| 例えば、３０度＝ | １ １２ | 周，９０度＝ | １ ４ | 周，３６０度＝１周です。 |
また、問題の設定より、与えられる角度ａ（周）は、０≦ａ＜１です。
今、短針から長針まで時計回りにａ周，長針から秒針まで時計回りにｂ周であるとします。
（このとき、短針と秒針のなす角は自動的に定まります。）
０時を過ぎて、求める時刻Ｔまでの間に長針と短針はＮ回、秒針と長針はＭ回重なっているとすると、
| Ｔ＝ | 12 11 | ×(Ｎ＋ａ) ，Ｔ＝ | 12 708 | ×(Ｍ＋ｂ)・・・(1) |
よって、
| 12 11 | ×(Ｎ＋ａ)＝ | 12 708 | ×(Ｍ＋ｂ) |
11Ｍ−708Ｎ＝708ａ−11ｂ ・・・(2)
Ｍ，Ｎは整数なので、(2)の両辺は整数です。
１１と７０８は互いに素で、
Ｎ＝０，１，２，・・・，10、Ｍ＝０，１，２，・・・，707ですから、
(2)をみたすＭとＮがただ１組定まります。
したがって、(1)によって、ただ１つの時刻Ｔが特定されます。
また、解Ｔが存在するような角度ａ，ｂの条件は、
０≦ａ＜１ ， ０≦ｂ＜１ ， 708ａ−11ｂが整数
であるということがわかります。
【問題５】
問題６においてａ＝０，ｂ＝０の場合ですから、
(2)よりＭ＝Ｎ＝０となり、Ｔ＝０のみが解となります。
◆大阪府 ゆたか さんからの解答。
【問題２】
Ｎ，ａは前回と同じものとします。
４時と５時の間で長針が短針を追い越したあとなので、Ｎ＝４です。
| また、２つの針のつくる角度は１００度＝ | ５ １８ | 周です。 |
| ａ＝ | ５ １８ |
| よって、Ｔ＝ | 12 11 |
×（４＋ | 5 18 |
）＝ | 14 3 |
(時)＝４時４０分 となります。 |
【問題３】
問題２と同じくＮ＝４です。
| また、ａ＝ | １ ４ | 周ですから、 |
| Ｔ＝ | 12 11 |
×（４＋ | 1 4 |
）＝ | 51 11 |
（時）＝４時 | 420 11 |
分が答えです。 |
【問題４】
短針が目盛の上にあるとき、
長針は０，12，24，36，48分のいずれかの目盛の上にあります。
長針が目盛の上にあるとき、短針は０秒の目盛の上にあります。
以上のことと、問題の条件より、
| ａ＝ | 1 60 |
周，ｂ＝ | ｃ ５ |
周と表すことができます。 |
前回の問題６の解法より、
１１Ｍ＋７０８Ｎ＝７０８ａ−１１ｂ が成り立ちますから、
| １１Ｍ−７０８Ｎ＝ | ７０８−１３２ｃ ６０ |
。 |
この右辺が整数になるのはｃ＝４の場合だけです。
このとき、１１Ｍ−７０８Ｎ＝３ となり、これを満たす整数Ｍ，Ｎを探すと、
Ｍ＝１２９，Ｎ＝２ が見つかります。
| よって、Ｔ＝ | 12 11 |
×（２＋ | 1 60 |
）＝ | 11 5 |
（時）＝２時１２分 が答えとなります。 |
【コメント】
もちろん、小学生でも解ける方法がありますが、あえて、この前の問題６の解法にこだわってみました。