◆広島県 清川 育男さんからの解答。
２×２→５回。
３×３→１３回。
４×４→２１回。
５×５→２９回。
ｎ×ｎ は、５＋８（Ｎ−２）＝８Ｎ−１１です。
◆東京都 ＧＯＹＡさんからの解答。
【問題２】ｍ×ｎの長方形
@ すき間を順次ずらし、青のピースを最初の１マス移動するまでの手数
（ｍ−１）＋（ｎ−１） 手
＊この操作で青のピースは上（又は右）に移動し、この下（又は左）にすき間がある状態になっている。
A-1 青のピースを異なる方向へ１マス移動する手数
A-2 青のピースを同じ方向へ１マス移動する手数
以上により、
青のピースを（１、１）から（ｎ、ｎ）まで［右、上］の繰り返しで移動後、
（ｍ、ｎ）まで右に移動する手順が最小手数となる。
手数は（ｍ＋ｎ−２）＋３×（２ｎ−３）＋５×（ｍ−ｎ）手
以降の解答は上記の応用となる為、上記の@，Aを以下でも使用する。
【問題１】ｎ×ｎの正方形
ｍにｎを代入して整理すると８ｎ−１１手
【問題３】すき間の位置を変化
@が （ｘ＋ｙ−２） に変わるだけなので
（ｘ＋ｙ−２）＋３×（２ｎ−３）手
【問題４】青のピースの位置を変化
（ｎ−ｃ＋１）×（ｎ−ｄ＋１）の長方形と考えれば良いので
（２ｎ−ｃ−ｄ）＋３×（２ｄ−１）＋５×（ｃ−ｄ）手
※ 但し、ｃ≧ｄとする。
【問題５】ゴールの位置を変化
（２ｎ−２）＋３×（２ｆ−３）＋５×（ｅ−ｆ）手
※ 但し、ｅ≧ｆとする。
【問題６】一般的な公式
問題１と同じような文章ですがそうであるはずが無いので青のピース、すき間、ゴールの位置をすべて変化させた場合と解釈しました。
こうなると、ｎ×ｎの正方形の枠は関係なくなります。
位置関係が 青のピース≦すき間≦ゴール でないこともありうる為、解答式に絶対値の記号（｜ｘ｜）を使用します。
例 ｜５−３｜も｜３−５｜も結果は２
また、青のピース、すき間、ゴールの位置は問題３〜５で示されている変数を使用します。
（｜ｘ−ｃ｜＋｜ｙ−ｄ｜−２）＋３×（２ｑ−３）＋５×（ｐ−ｑ）手
※ｐは｜ｃ−ｅ＋１｜と｜ｄ−ｆ＋１｜の大きい方
※ｑは｜ｃ−ｅ＋１｜と｜ｄ−ｆ＋１｜の小さい方
【コメント】
これはすばらしい解答ですね。
ぜひ、並べて実験してみてください。
じつは現在確認中で、まだ１００％チェックしていないのですが、早急に調べてみます。
◆広島県 清川 育男さんからの解答。
第２問の答えについて。
GOYAさんの答えを整理すると、６Ｍ＋２Ｎ−１１。となります。
Ｍ＝３、Ｎ＝２の場合を例にとれば、最小手順は１１手となりますが、９手で可能です。
Ｍ＞Ｎとする。＝はない。
（（８Ｎ−１１）＋４）＋６×（（Ｍ−Ｎ）−１）
＝６Ｍ＋２Ｎ−１３。
Ｍ＝３、Ｎ＝２の場合 ６×３＋２×２−１３＝９ となります。
Ｍ＝４、Ｎ＝３の場合 ６×４＋２×３−１３＝１７ となります。
◆東京都 ＧＯＹＡさんからの解答。
間違ってました。
（ｎ、ｎ）に移動した直後の右移動は５手ではなく３手ですね。
（ｍ＋ｎ−２）＋３（２ｎ−３）＋５（ｍ−ｎ）
｜｜
＼／
（ｍ＋ｎ−２）＋３（２ｎ−２）＋５（ｍ−ｎ−１）…(1)
としないとあわなくなります。
で、こうした場合 ｍ＝ｎ の時２手少なく計算されるので ＋２ の補正が必要となるので、
式(1)を整理して、補正を考慮すると
６Ｍ＋２Ｎ−１３＋ｋ 手
ｋは ｍ＝ｎの時 ２
ｍ＞ｎの時 ０
となり、清川さんの解答と一致しますし、ｍ＝ｎの条件もクリアできますね。
めでたし、めでたしかな？
【コメント】
お二人のご協力で、どうにか解決したのではないでしょうか。
しかし、遠隔地でこういった議論ができるのが、インターネットのすばらしさですね。
チャットでもできるようにしようかな。