◆大阪府の高校生 ＣＨＥＣＫ さんからの解答。
私は数学の美しさは、幾何学が最高だと自分の中では思っています。
そのうちの一つ「三角形の９点円」を紹介します。
これは、僕が中学生の時に授業中、先生が三角形の９カ所に点を打ち、「これは実は同一円周上にある。」と言われて、とても驚きました。
（９点円の問題）
三角形ＡＢＣの３辺ＢＣ，ＣＡ，ＡＢの中点をＬ，Ｍ，Ｎとし、点Ａ，Ｂ，Ｃから対辺におろした垂線の足をＤ，Ｅ，Ｆ，垂心をＨとする。
ＡＨ，ＢＨ，ＣＨの中点をＰ，Ｑ，Ｒとすると、Ｌ，Ｍ，Ｎ，Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｐ，Ｑ，Ｒの９点は同一円周上にあることを証明せよ。
（解答）
ＡＢ，ＡＨの中点がＮ，ＰであるからＮＰとＢＨは平行である
さらに、ＢＨ⊥ＡＣ ∴ＮＰ⊥ＡＣ
また、点Ｌ，ＮはＢＣ，ＢＡの中点であるからＬＮとＡＣは平行である
∴ＮＰ⊥ＬＮ よって∠ＰＮＬ＝９０°
同様に、ＭＰとＣＨ、ＭＬとＡＢが平行で、ＣＨ⊥ＡＢなのでＭＰ⊥ＭＬがいえる
∴∠ＰＭＬ＝９０° また∠ＰＤＬ＝９０°
よって５点Ｐ，Ｎ，Ｄ，Ｌ，ＭはＰＬを直径とする同一円周上にある
すなわち、点Ｐ，Ｄは円ＬＭＮの上にある
同様に点Ｑ，Ｅ及びＲ，Ｆも円ＬＭＮの上にあることがいえる
∴点Ｐ，Ｄ，Ｑ，Ｅ，Ｒ，Ｆは円ＬＭＮの上にある
すなわち９点Ｌ，Ｍ，Ｎ，Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｐ，Ｑ，Ｒは同一円周上にある
証明終
以上、この証明を黒板で解かれたときは唖然としましたね。
高校になってからはこの問題を複素数平面での証明をやってみたらできました。
書くのが大変なのでそちらの証明は省かせていただきますが、こちらの証明もかなり美しいです。
やり方は三角形の外心を原点にとり、三角形の各頂点と外心との距離を１として解いていけば、外心と垂心の中点を中心とする半径１／２の円周上に９点がきます。
一度おためしあれ。
この９点円の発展型として「フォイエルバッハ（Ｆｅｕｅｒｂａｃｈ）の定理」があります。
証明してみて下さい。
「定理：三角形の９点円は内接円と傍接円に接する」