◆東京都 兼縣けめ丸 さんからの解答。
「三角形の各頂点から対辺への垂線が一点で交わること」
私が知っている証明は、ベクトルを使わないものです。
おそらく有名なものだろうと思いますが、個人的にはこの証明も美しく感じるので投稿しました。
三角形ＡＢＣの外側に、三点Ｄ、Ｅ、Ｆを次のように取ります。
・三角形ＤＥＦは、三角形ＡＢＣと相似（相似比１：２）
・Ａは辺ＥＦの中点、Ｂは辺ＦＤの中点、Ｃは辺ＤＥの中点
すると、三角形ＤＥＦにおいて、
Ｂから直線ＣＡへの垂線ｌは、辺ＦＤの垂直二等分線になり、
Ｃから直線ＡＢへの垂線ｍは、辺ＤＥの垂直二等分線になります。
三角形の各辺の垂直二等分線が一点で交わること（＊）から、ＥＦの垂直二等分線、すなわちＡから直線ＢＣの垂線ｌは、ｌ，ｍの交点Ｈを通ることが言えます。
（証明終）
（＊）は次のように簡単に示せます。
ｌは線分ＦＤの垂直二等分線なので、ＨＦ＝ＨＤ。
ｍは線分ＤＥの垂直二等分線なので、ＨＤ＝ＨＥ。
よって、ＨＦ＝ＨＥであるから、Ｈは線分ＥＦの垂直二等分線上にある。
こういうのは、美しい証明とは言えないものなのでしょうか？
三角形を広げていって、その対称性を利用したこのような証明が、私にはとても美しく感じられます。
対称性に「美」を感じるのは、人間の性とでもいうべきものかもしれません。