◆広島県 清川 育男さんからの解答。
【問題１】
２桁の数を、ａ×１０＋ｂ，１０＞ａ＞０，１０＞ｂ≧０とする。
（１）ａ＋ｂ＜１０のとき
（ａ×１０＋ｂ）＋（ｂ×１０＋ａ）＝（ａ＋ｂ）×１０＋（ａ＋ｂ）
１回で対称になる。
（２）ａ＋ｂ＝１０のとき
１００＋１０，１１０＋１１＝１２１
２回で対称になる。
（３）１４＞ａ＋ｂ＞１０のとき
１００＋（ａ＋ｂ−９）×１０＋（ａ＋ｂ−１０）
（ａ＋ｂ−１０）×１００＋（ａ＋ｂ−９）×１０＋１
１００＋（ａ＋ｂ−９）×１０＋（ａ＋ｂ−１０）＋（ａ＋ｂ−１０）×１００＋（ａ＋ｂ−９）×１０＋１
＝（ａ＋ｂ−９）×１００＋２（ａ＋ｂ−９）×１０＋（ａ＋ｂ−９）
２回で対称になる。
（４）ａ＋ｂ＝１４のとき
６０５＋５０６＝１１１１
３回で対称になる。
（５）１８＞ａ＋ｂ＞１４のとき
８７＋７８＝１６５
１６５＋５６１＝７２６
７２６＋６２７＝１３５３
１３５３＋３５３１＝４８８４。代表として。
４回で対称になる。
８８＋８８＝１７６，１７６＋６７１＝８４７，８４７＋７４８＝１５９５
１５９５＋５９５１＝７５４６，７５４６＋６４５７＝１４００３
１４００３＋３００４１＝４４０４４
６回で対称になる。
（６）ａ＋ｂ＝１８のとき
９９＋９９＝１９８
１９８＋８９１＝１０８９
１０８９＋９８０１＝１０８９０
１０８９０＋９８０１＝２０６９１
２０６９１＋１９６０２＝４０２９３
４０２９３＋３９２０４＝７９４９７
６回で対称になる。
【問題２】
３桁の数を、ａ×１００＋ｂ×１０＋ｃ
１０＞ａ＞０，１０＞ｂ≧０，１０＞ｃ≧０とする。
＃８８７，１６７５，１８５７が対称にならない数と仮定して。
（１）８８７のとき
２ｂ＝１８，ｂ＝９，ａ＋ｃ＝７
（ａ＝１，ｃ＝６）（ａ＝２，ｃ＝５）（ａ＝３，ｃ＝４）
（ａ＝４，ｃ＝３）（ａ＝５，ｃ＝２）（ａ＝６，ｃ＝１）
（ａ＝７，ｃ＝０）
１９６,２９５，３９４，４９３，５９２，６９１,７９０
（２）１６７５のとき
２ｂ＝１６，ｂ＝８，ａ＋ｃ＝１５
（ａ＝６，ｃ＝９）（ａ＝７，ｃ＝８）
（ａ＝８，ｃ＝７）（ａ＝９，ｃ＝６）
６８９，７８８，８８７，９８６
（３）１８５７のとき
２ｂ＝１４，ｂ＝７，ａ＋ｃ＝１７
（ａ＝８，ｃ＝９）（ａ＝９，ｃ＝８）
８７９，９７８
以上１３個存在する。＃の仮定が正しければ。
計算結果をヒントに解きました。仮定の証明は解りません。
【コメント】
相変わらずすばらしい分析で、この問題もついに解決の糸口が見えてきましたね。
数を逆さまにして足すことは中学校の数学でもよく扱うのですが、しかしこの結果は不思議ですね。
＃の証明ができた方、ぜひ解答を送ってくださいね。
◆広島県 清川 育男さんからの解答。
補足
８８７＋７８８＝１６７５。
ですから、仮定は、１６７５、１８５７の２つの数が対称にならない事の証明ということになります。
◆京都府 わかさひ君 からの解答。
この問題は未解決問題です。
# 少なくとも６年前はそうでした。
# 今はひょっとしたら解決しているかも知れませんが
したがって、おいそれと素人が手を出せる問題ではないと思います(^^;
確か２６０００回くらい試行しているはずです＜196,...
なお、その試行でちょうど対称になる必要十分条件は、足し合わせるときに各桁で繰り上がりが一度も起こらないことです。
また、桁が増えるほど対称になる確率は減って行くので
(桁数nに対して (1/2)n/2程度)、
永遠に対称にならない、と予想するのが妥当である気はします。
【コメント】
未解決の問題だったのですか。
全く知りませんでした。
２桁の数を入れ替えて足すと、１１の倍数になるという、中学校２年生の問題から自分で作った問題なので、ひょっとしたら未解決かもという気もないではなかったのですが。
ある程度、話題を提供できたということでこの問題はよしとしましょう。