◆東京都 yoppaさんからの解答。
まず、一番大きい（重い）分銅で、計れる分だけ計ります。
あまった分を次に大きい分銅で、さらにその次・・・という具合に行けば良いのではないでしょうか。
つまり、４７ｇを２５ｇ，１０ｇ,１ｇで計る場合、
１． ４７／２５＝１ あまり ２２
２． ２２／１０＝２ あまり ２
３． ２／１＝２ あまり ０
で、それぞれの商が１，２，２なので、
２５ｇが１個、１０ｇが２個、１ｇが２個の計５個になります。
＜感想＞
とても興味深い問題だと思います。
１０進数から２進数の変換をするときのやり方のちょっと変形の考え方でいけると思ったのですが・・・
あってますか？（ちょっと自信なし）
【コメント】
実はこの解答は９０％の正解なのです。
ほとんど大丈夫なのですが、例外もあります。
例えば５８ｇなら２５ｇ×２＋１ｇ×８の１０個より、
２５ｇ×１＋１０ｇ×３＋１ｇ×３の７個の方が少ないですから、これは成り立ちません。
その部分だけ修正して、ぜひ正解を見つけてくださいね。
◆広島県 清川 育男さんからの解答。
Ｎｇをはかるとする。
Ｎを２５で割り、商をχ、剰余をＮ１とする。
Ｎ１を１０で割り、商をＹ、剰余をＮ２とする。
Ｎ２を５で割り、商をＳ、剰余をＺとする。
χ＞１でＳ＝１のときはχ−１。
２５×１＋５×１＝３０。
３０／１０＝３。
Ｙ＋３とする。
３０ｇは ２５ｇのおもり１個。１ｇのおもり５個。計６個。
１０ｇのおもり３個。の方が少ない個数となるから。
１）Ｓ＝１でしかもχ＞１のとき
Ｎ＝２５×χ＋１０×Ｙ＋５×１＋Ｚ
＝２５×（χ−１）＋２５＋１０×Ｙ＋５＋Ｚ
＝２５×（χ−１）＋１０×（Ｙ＋３）＋Ｚ
２５ｇのおもり（χ−１）個。１０ｇのおもり（Ｙ＋３）個。１ｇのおもりＺ個。
２）Ｓ＝０のとき
Ｎ＝２５×χ＋１０×Ｙ＋５×０＋Ｚ
＝２５×χ＋１０×Ｙ＋Ｚ
２５ｇのおもりχ個。１０ｇのおもりＹ個。１ｇのおもりＺ個。
◆千葉県の高校生 トミーさんからの解答。
１ｇをｘ個、１０ｇをｙ個、２５ｇをｚ個使うものとする。
ｎｇを作る時を考える。
ｘ，ｙ，ｚの関係は
ｘ＋１０ｙ＋２５ｚ＝ｎ．．．．．．（1)
ここで、１０と２５は５の倍数なので、１０α、２５β(α、βは整数)は５の倍数となる。
ゆえに、ｎを５の倍数とするために、１ｇのおもりをｋ個使ってｎ−ｋが５の倍数となるようにする。
よって(1)は
１０ｙ＋２５ｚ＝ｎ−ｋとなる。
(a) ｎ−ｋの下一桁が５の時
・２５ｇのおもりを ｍ＝2ａ−1個（ａは自然数）使って下一桁の5を消す。
(但し、ｍは ｎ−ｋ−２５ｍ≧ ０を満たす最大のｍ)
・１０ｇのおもりを使って残りの重さを作る。
(b) ｎ−ｋの下一桁が５でない時
・２５ｇのおもりをｍ＝2ａ個（ａは自然数）使う。
(但し、ｍは ｎ−ｋ−２５ｍ≧ ０を満たす最大のｍ)
・１０ｇのおもりを使って残りの重さを作る。
【コメント】
この解答には本当に感心しました。
１ｇの方から先に決めていく方が確かに分かりやすいですね。
おみごとの一言です。
◆広島県 清川 育男さんからの解答。
トミーさんの解答をヒントにしての解答
Ｎｇを計量する。
１） Ｎ mod 5 は、０，１，２，３，４。
１，２，３，４のときは１ｇの重りをそれぞれ１個、２個、３個、４個使用する。
２）１）のときの剰余をχ（０，１，２，３，４）とする。
（Ｎ−χ）mod 25 は、０，５，１０，１５，２０。
商をＹとする。
イ）０のとき ２５ｇの重りをＹ個使用する。
Ｎ＝２５×Ｙ＋１０×０＋１×χ。
ロ）５のとき ２５ｇの重りを（Ｙ−１）個使用する。
１０ｇの重りを３個使用する。
Ｎ＝２５×（Ｙ−１）＋１０×３＋１×χ。
ハ）１０のとき ２５ｇの重りをＹ個使用する。
１０ｇの重りを１個使用する。
Ｎ＝２５×Ｙ＋１０×１＋１×χ。
ニ）１５のとき ２５ｇの重りを（Ｙ−１）個使用する。
１０ｇの重りを４個使用する。
Ｎ＝２５×（Ｙ−１）＋１０×４＋１×χ。
ホ）２０のとき ２５ｇの重りをＹ個使用する。
１０ｇの重りを２個使用する。
Ｎ＝２５×Ｙ＋１０×２＋１×χ。
以上です。
１ｇ、１０ｇの重りは４個あれば十分であることが示される点がいいと思います。
【コメント】
なるほど、この解答はおもりの個数が算出しやすいですね。
１ｇ、１０ｇのおもりは４個でよかったのですか！
実はプログラムではしらみつぶしに探しているのですが。
さすがに、３種類のおもりの重さを変化させた場合は一般的には解けないでしょうから、やっぱりしらみつぶしかな。
◆岐阜県 ｙａｓｈｉ さんからの解答。
４７＝９×５＋２ ― (1)
ここで１０ｇと２５ｇについて考える。
１０＝２×５ ２５＝５×５となる。
ここで９＝２×２＋５となり先ほどの１０ｇと２５ｇの関係から答えは
１ｇを２個、１０ｇを２個、２５ｇを１個の計５個。
ここで任意のＮｇについて考える。
先ほどと同じように５で割ってみる。
Ｎ＝５ｋ＋ｌ (Ｋ，ｌはともに０以上の整数) − (1)
１０＝２×５ ２５＝５×５
これによりｋを２と５の倍数に分ければおもりの個数がわかる。
つまりｋ＝２ａ＋５ｂと置き換えると最小の数で計れるおもりの個数がわかるということになる。
ここでａとｂはともに０以上の整数でａ＋ｂが最小になるような数である。
初めに５の倍数で求めることはひらめいたのですが、一般化するのが意外とわかりづらかったです。
というか今でもわかりづらいですね