『にせ金を探せPart2』解答

◆栃木県　銭場　克己さんからの解答。

あなたの答え：

感想： フローチャートが出来てから、一日かかってしまいました。

【コメント】

これはすごい解答ですね。
感動しました。

◆静岡県の中学校２年生　紅林 くるる　さんからの解答。

　１２枚×２（重いか軽いか）＝２４通りが有る。

１２枚のコインを４個ずつに分ける。（Ａ，Ｂ，Ｃとする）

Ａの４枚をＡ1，Ａ2，Ａ3，Ａ4
Ｂの４枚をＢ1，Ｂ2，Ｂ3，Ｂ4
Ｃの４枚をＣ1，Ｃ2，Ｃ3，Ｃ4
とする。

●１回目Ａの４個と，Ｂの４個を天秤にかける

【コメント】

　これもまたすごい解答です。
実際はＦａｘで、天秤の図入りでもっと分かりやすかったのですが、ＷＷＷなので文字だけにしました。
それでも充分そのすばらしさが分かると思います。

◆山梨県の小学生　大澤　真理さんからの解答。

こたえ Ｇ

にせがねをさがせよりも、少し、むずかしいね。
３回目にやっとわかったよ。

　　　真理より

◆東京都の中学校２年生　良い山　さんからの解答。

ABCDとEFGHを比べます。

（１）　つりあっていなかったら

ABCDの方に傾いたとします。
その場合、ABCDのうちどれかが重いか、またはEFGHのうちどれかが軽いということになります。
今度はACEとBDFとを比べます。
こうすることによってニセがねを確実に3つか2つに絞れます。

（２）　つりあったら

IJKLのうち三つ(IJKとします)とABC(本物)とを測ります。
1.　IJKの方に傾いたら

IJKのうちどれかが重いわけだから、IとJとを測ります。

2.　ABCの方に傾いたら

上と同じことをします。
そして、傾いた方と逆のコインが軽いニセがねです。

◆長野県の中学校２年生　佐登志　さんからの解答。

まず、ＡＢＣと、ＤＥＦで測ってみます。

「パターン(1)」

もし、ＤＥＦが重いとしたら、ＡＢＣと、ＧＨＩで測ってみます。
これで釣り合っていれば、ＤＥＦの中に重い偽金が入っていると言うことになります。
そこで、Ｄ，Ｅを比べて、どちらかが重かった場合は、それが偽金。
例えば、Ｄが重ければ、Ｄが一つだけ重いので、Ｄが偽金。
Ｅが重ければ、Ｅが偽金。
釣り合っていれば、Ｆが、重いと言うことになるので、Ｆが偽金と言うことになります。

ちなみに、ＡＢＣが重い場合も同じやり方で求まります。

「パターン(2)」

ＡＢＣ＝ＤＥＦの場合。
これも、ＡＢＣ＞ＤＥＦのやり方や、ＡＢＣ＜ＤＥＦのやり方と、ほぼ同じです。

この場合は、ＡＢＣ、ＤＥＦに、偽金はないので、ＧＨＩＪＫＬの中に偽金があると言うことになります。

そこで、ＧＨＩと、ＡＢＣを比べてみます。
仮に、ＧＨＩが重かったとします。
すると、ＧＨＩの中に重い偽金があります。
ＡＢＣが重かったら、ＧＨＩの中にあるのは軽い偽金です。
もし、釣り合っていたら、ＪＫＬの中に偽金があります。
あとは、パターン(1)と同じです。

◆埼玉県　工藤　晴一 さんからの解答。

職場の数学博士(笑)から、同じ問題が出題されました。
一晩悩んで得られた結果が解答１です。
その後、その数学博士より、機械的に検出する手法を提示されました。
その解答は、毎回天秤に４つずつコインをのせ、その３回の結果
（どっちが下がったか、つりあったか）に対して偽物を対応させた表を提示したものでしたが、３回の天秤試行の組み合わせの根拠や、結果の表の導き出し方は示されませんでした。
（なんでも、情報理論とかいう理論なんだそうですがよくわかりません(^^;）

それを見ていて、２日考えてできたのが、解答２です。

＜解答１＞

まず、１２個のコインを４、４、４の３つのグループに分けます。
一つのグループを残し、残りをそれぞれ天秤の左右に載せます。

１）つりあった場合

　この場合、天秤の上の８つは本物確定です。
　天秤に載せなかった４つの中に偽者があります。
　その４つの中から３つを天秤の左に、本物とわかったうちの３つを右に載せます。

　1-a)つりあった場合

　　この場合は、最後まで天秤に載せなかった１つが偽物です。
　　重いか軽いかは、本物と比較すればＯＫ！

　1-b)つりあわなかった場合

　　左の３つに、偽物が入ってますが、これで重いか軽いかわかりました。
　　重軽がわかっていて、３つの中から偽物を発見するのは、あと１回で十分です。

２）つりあわなかった場合

　そのとき、下がったほうに重い偽物か、上がったほうに軽い偽物が入ってます。
　そして、載せなかった４つは、本物確定です。
　下がったほうに黒い印（重い偽物候補）
　上がったほうに白い印（軽い偽物候補）をつけましょう。
　印の重さは無視してください。
　だめなら、気合で覚えておきましょう。

　それでは、つぎに天秤の左に黒３個、白２個
　天秤の右に、黒１個、本物４個をのせましょう。

　2-a)つりあった場合

　　天秤に載せなかった白２個に偽物が入ってます。
　　軽い偽物候補なので、この２個を比べれば偽物がわかります。

　2-b)左が下がった場合

　　左の黒３個の中に偽物が入ってます。
　　重い偽物候補なので、あと１回あれば、偽物が見つかるでしょう。

　3-c)右が下がった場合

　　左の白２個か、右の黒１個の中に偽物が入ってます。
　　白２個を比べます。軽いほうが偽物です。
　　つりあったら黒が偽物です。

＜解答２＞

(1)12個のコインに、以下の番号を振ります。
1,3,4,5,14,15,16,17,18,19,20,24

(2)次に、これらを以下のように天秤にのせます。

　○１回目

　　{14,15,16,17}−{18,19,20,24}
　　これらはのせない→1,3,4,5

　○２回目

　　{3,4,5,14}−{15,16,17,24}
　　のせない→1,18,19,20

　○３回目

　　{1,4,16,19}−{5,14,17,20}
　　のせない→3,15,18,24

(3)つりあった場合を"0"、左が下がった場合を"1"、右が下がった場合を"2"とし、１、２、３回目の天秤の傾き方を数字で表記します。

ex1)１回目、２回目でつりあって、３回目左が下がった場合
　→　００１

ex2)１回目左、２回目右が下がり、３回目でつりあった場合
　→　１２０

ex3)１回目右、２回目左、３回目左がそれぞれ下がった場合
　→　２１１

ex4)１回目右、２回目左が下がり、３回目でつりあった場合
　→　２１０

(4)− i
　(3)で得られた３桁の数字を３進数とみなし、１０進数に変換します。
　その値が、偽物コインに振った数字と一致すれば、それが「重い偽物」です。

ex1)　００１→0x32+0x31+1x30＝１
　１と書いてあるコインが、重い偽物

ex2)　１２０→1x32+2x31+0x30＝15
　15と書いてあるコインが、重い偽物

(4)−ii
　(3)で得られた数字を変換した値がコインに振った番号に無かった場合は、その３進数の数字の１と２を入れ替えてもう一度１０進数になおします。
その値と一致したコインが、「軽い偽物」です。

ex3)　２１１→22　22は存在しないので、
　２１１→１２２→17　17のコイン軽い偽物

ex4)　２１０→21　21は存在しないので、
　２１０→１２０→15　15のコインが軽い偽物

以上です。

なお、この解き方は、一般的に応用可能と思われますので、なぜこのような番号を振ったのか、なぜこのように天秤に載せる組み合わせがきまったのかは、Part４への解答で説明したいと思います。

◆富山県の中学校２年生　ＡＢＥＮ さんからの解答。

解答というよりは、「解図」ですけれども……。

まず、ひとつひとつに、
１、２、３、４、５、６、７、８、９、１０、１１、１２と番号を振ります。
そして天秤の左側を「左」、天秤の右側を「右」、のせない場合は「元」とあらわします。

最初に解答を示します。

１回目
　左１・２・３・４　右５・６・７・８　元９・10・11・12

２回目
　左２・９・10・12　右３・４・７・８　元１・５・６・11

３回目
　左３・５・７・９　右６・８・11・12　元１・２・４・10

解説（？）ですね。

１２枚のコインを
「右の皿に載せるもの」「左の皿に載せるもの」「載せないもの」に分けると、
１２÷３＝４。
４・４・４に分けます。

天秤の右と左、そしてのせない場合のコインのルートは、
３（天秤を使う回数）の３乗（左、右、元）で27通りあります。

これはあまり真剣に見ないでください。

左左左　左左右　左左元
左右左　左右右　左右元
左元左　左元右　左元元
右右右　右右左　右右元
右左右　右左左　右左元
右元右　右元左　右元元
元左左　元右右　元左右
元右左　元左元　元右元
元元左　元元右　元元元

ところで例えば、左→右→左という順で下がった場合、左右左が重いのか、右左右が軽いのかわかりません。
で、ちょうど対極に位置するもの（右右右と左左左など）と、対極がない元元元を排除します。

（２６−１）÷２＝１３

この１３の中から、４・４・４になる１２を見つけます。
先に言うと、こうなります。

１左元元
２左左元
３左右左
４左右元
５右元左
６右元右
７右右左
８右右右
９元左左
10元左元
11元元右
12元左右

要は、２つのコインに同じルートをたどらせないようにすればよいわけです。
で、どうやって判別するかですが……
例えば、右が下がった→つりあった→右が下がったとします。

１左元元
２左左元
３左右左
４左右元
５右元左
６右元右
７右右左
８右右右
９元左左
10元左元
11元元右
12元左右

偽コインが重いと仮定し、この中から右元右を探します。
６番です。
答えは、「６番が重い」ということになります。

また、左が下がった→左が下がった→右が下がったとします。
重いと仮定し左左右を探します。
ありませんね。ということは偽コインは軽いということです。

左左右を裏返し、右右左を探します。
７番です。答えは「７番が軽い」です。

この図を使えば、どんな場合でも解くことが出来ます。

難しかったです。
私の場合、あまりスマートな方法ではありません。
皆さんが寄せられた回答のほうが分かりやすい上、スマートですね。
もっと精進しなければ。

◆愛知県　つかちゃん　さんからの解答。

・（　）付の番号は階層的付けました。
・太字の番号は、天秤を使う回数を表しています。

金貨をＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ，Ｉ，Ｊ，Ｋ，Ｌとする。
初めに、
１回目：左側（Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ）　右側（Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ） を乗せる。

（１）．釣り合った場合

　Ａ〜Ｈは真金貨、Ｉ〜Ｌの中に偽金あり（軽重は不明）

　２回目：左側（Ａ，Ｂ，Ｃ：真金貨）　右側（Ｉ，Ｊ，Ｋ）

（１−１）．釣り合った場合
　偽金貨はＬ

（１−２）．釣り合わなかった場合
　例えば、右側が持ち上がった場合
　Ｉ，Ｊ，Ｋの中に軽い偽金あり

　３回目：左側（Ｉ）　右側（Ｊ）
（１−２−１）．釣り合った場合
　残りのＫが軽い偽金

（１−２−２）．釣り合わなかった場合
　持ちあがった方が、軽い偽金貨

（２）．釣り合わなかった場合
　例えば、右側が持ち上がった場合
　Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄの中に重い偽金貨があるか、またはＥ，Ｆ，Ｇ，Ｈのなかに軽い偽金貨がある

　２回目：左側（Ａ，Ｂ，Ｅ）　右側（Ｃ，Ｄ，Ｆ）
（２−１）．釣り合った場合
　残った、Ｇ，Ｈの中に、軽い偽金貨がある

　３回目：左側（Ｇ）　右側（Ｈ）
　持ちあがった方が、軽い偽金貨
（２−２）．釣り合わなかった場合
　例えば、右側が持ち上がった場合
　Ａ，Ｂが重い偽金貨であるか、Ｆが軽い偽金貨であるかのどちらか

　３回目：左側（Ａ）　右側（Ｂ）
（２−２−１）．釣り合った場合
　残ったＦが軽い偽金貨

（２−２−２）．釣り合わなかった場合
　Ａ，Ｂは重い偽金貨が含まれているので、下がった方が重い偽金貨

◆兵庫県　ケーキ屋みーちゃん　さんからの解答。

ます、１２枚のコインをそれぞれ

Ａグループ（Ａ1、Ａ2、Ａ3、Ａ4）、
Ｂグループ（Ｂ1、Ｂ2、Ｂ3、Ｂ4）、
Ｃグループ（Ｃ1、Ｃ2、Ｃ3、Ｃ4）に分けます。

１回目の計測

Ａグループを左、Ｂグループを右にのせます。

（１）
右に傾いたときＡグループに軽い偽コイン、またはＢグループに重い偽コインがふくまれています。
Ｃグループはすべて本物コインです。

２回目の計測

Ｂ1、Ｂ2、Ｂ3、Ａ4を左、
Ｃ1、Ｃ2、Ｃ3、Ｂ4を右にのせます

イ
左に傾いた場合
Ｂ1、Ｂ2、Ｂ3、Ａ4が重くなるのは、Ｂ1、Ｂ2、Ｂ3のいずれかが偽コイン（重い）のときです

ロ
水平の場合
Ａ1、Ａ2、Ａ3のいずれかが偽コイン（軽い）のときです

ハ
右に傾いた場合
Ａ4が軽いか、Ｂ4が重いときです

イ、ロの場合は偽コインが重いか軽いかわかっているのであと１回の計量で偽コインを特定する事が可能です。
ハの場合は、Ａ4、Ｂ4のいずれかを本物コインと比較する事によって特定する事が可能です。

（２）
天秤が水平のとき、Ｃグループに偽コインがふくまれています。
（重いか軽いかはわからない）
Ａ、Ｂグループはすべて本物コインです。

２回目の計量

Ａ1、Ａ2、Ａ3、Ａ4を左、
Ｃ1、Ｃ2、Ｃ3、Ｂ4を右にのせます

ホ
左に傾いた場合
Ｃ1、Ｃ2、Ｃ3のいずれかが偽コイン（軽い）

ヘ
水平の場合
Ｃ4が偽コイン

ト
右に傾いた場合
Ｃ1、Ｃ2、Ｃ3のいずれかが偽コイン（重い）

ホ、トの場合は偽コインが重いか軽いかわかっているのであと１回の計量で偽コインを特定する事が可能です。
への場合はあと一回の計量をするまでもなく特定する事が可能です。

（３）左に傾いたときは（１）の裏返しなので省略します。

◆北海道　電波 さんからの解答。

１
ABCD:EFGHが「釣り合う→２へ」「左が沈む→６へ」「右が沈む→１０へ」

２
ABC:IJKが「釣り合う→３へ」「左が沈む→４へ」「右が沈む→５へ」

３
A:Lが「左が沈む→Lが軽偽」「右が沈む→Lが重偽」

４
I:Jが「釣り合う→Kが軽偽」「左が沈む→Jが軽偽」「右が沈む→Iが軽偽」

５
I:Jが「釣り合う→Kが重偽」「左が沈む→Iが重偽」「右が沈む→Jが重偽」

６
ABE:CDFが「釣り合う→７へ」「左が沈む→８へ」「右が沈む→９へ」

７
G:Hが「左が沈む→Hが軽偽」「右が沈む→Gが軽偽」

８
A:Bが「釣り合う→Fが軽偽」「左が沈む→Aが重偽」「右が沈む→Bが重偽」

９
C:Dが「釣り合う→Eが軽偽」「左が沈む→Cが重偽」「右が沈む→Dが重偽」

１０
EFA:GHBが「釣り合う→１１へ」「左が沈む→１２へ」「右が沈む→１３へ」

１１
C:Dが「左が沈む→Dが軽偽」「右が沈む→Cが軽偽」

１２
E:Fが「釣り合う→Bが軽偽」「左が沈む→Eが重偽」「右が沈む→Fが重偽」

１３
G:Hが「釣り合う→Aが軽偽」「左が沈む→Gが重偽」「右が沈む→Hが重偽」

◆愛知県　通信大学で美術を勉強している社会人 さんからの解答。

Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ，Ｉ，Ｊ，Ｋ，Ｌを２つのグループに分ける。

例えば、（Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ）と（Ｇ，Ｈ，Ｉ，Ｊ，Ｋ，Ｌ）

このうち、１つのグループを選ぶ、仮に（Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ）を選んだとする。
これをさらに２つのグループに分ける。

（Ａ，Ｂ，Ｃ）と（Ｄ，Ｅ，Ｆ）・・・（１）

この２つのグループを天秤にのせる。（１回目）

もし、つりあえば、これらはすべて同じ重さであるので、重さの違うものは、
他方（Ｇ，Ｈ，Ｉ，Ｊ，Ｋ，Ｌ）にあることになる。

どちらにせよ１２個のうち６個の中に重さの違うものがあることがわかる。

そして、残りの６個はすべて同じ重さだと分かる。

仮に、（Ａ，Ｂ，Ｃ）と（Ｄ，Ｅ，Ｆ）が釣り合わなかった場合、
（この場合、Ｇ，Ｈ，Ｉ，Ｊ，Ｋ，Ｌは同じ重さだとわかる。）

（Ａ，Ｂ）（Ｃ，Ｄ）（Ｅ，Ｆ）と分けて、 さらに、（Ａ，Ｂ）と（Ｅ，Ｆ）の中を
（Ａ，Ｅ）と（Ｂ，Ｆ）と入れ替えて天秤にのせる(２回目)。・・・（２）

もし、（２）が釣り合うとすると（Ｃ，Ｄ）のどちらかが重さがちがうものがあることが分かる。
ＢとＥを入れ替えても（２）が（１）と同じ傾きであれば、（Ａ，Ｆ）のどちらかが重さが違うことがわかる。

（２）の傾きが（１）と違うと（Ｂ，Ｅ）のどちらかが重さが違うことがわかる。

仮にそうだとすると、（Ｂ，Ｅ）のどちらか一方と同じ重さのＧ〜Ｌのうちの１つとくらべる。

例えば、ＥとＬを選んで、重さを比べる。（３回目）・・・（３）

（３）が釣り合えば、Ｂが重さが違うことがわかる。
（３）が釣り合わなければ、Ｅが重さが違うことがわかる。

◆東京都　two_well さんからの解答。

まずコインに０１２の番号を打っていきます。
１が右、２が左、０が乗せないということを表します。

０００
００１
００２
０１０
０１１

このように最後の２２２まで番号を打っていきます。
全部で27個
その中で１と２を入れ替えて同じもののうち一つを消します。
１２１⇔２１２など

そうすると

０００
００１
０１０
０１１
０１２
１００
１０１
１０２
１１０
１１１
１１２
１２０
１２１
１２２

の14通りになります。
この１４個の数字のうち１と２を入れ替えて、それぞれの縦の列の１と２の数を合わせます。
このとき１２２を入れ替えるときは２１１に３つ同時に変えます。
(適当でOKです)

縦の３つの列すべてをそろえると

０００
００２
０２０
０２２
０２１
１００
１０１
１０２
１１０
２２２
２２１
２１０
２１２
２１１

２が一つずつ多いので２２２を省きます。
これで１３個になりました。
問題が１２個のコインになっているので、もうひとつ０００を省きます。
(つまり１３枚でも解ける)

それぞれがコインになります。

ここで
０→乗せない
１→左
２→右
に乗せていきます。

１列目が１回目
２列目が２回目
３列目が３回目になります。

これで重くなったほうを調べていきます。
そのとき「左」「右」「つりあう」だったら
１２０が重いもしくは２１０が軽いということになります。
この場合だと２１０なので２１０が軽いということになります。

なぜこの方法で答えがわかるのかというと解説が難しいのですが、
偽物が重いとわかっていればｎ回天秤を使うと
最大３n枚まで調べることができます。

そこから派生した解法です。

１２０と２１０を一つにするのは、重いか軽いかわかっていないためでそれを一つにすると軽くても重くても判別できるようになるからです。

◆新潟県の中学校３年生　ｓｉ さんからの解答。

一回目に右と左に４枚ずつ乗せます。
それで右が重ければ左に乗せた四枚を２枚ずつ左右に乗せます。
それで右が重ければ左に乗せた２枚を１枚ずつ乗せてはかればいいです。
左が重い場合もそれでいいです。
一回目につりあった場合は天秤に乗せなかった４枚で同じことをしてあげればいいです。

　・問題にもどる

　・数学の部屋へもどる