◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
１）少なくとも３つ公園が在ることの証明。
公園が２つしかないと仮定する。
そうすると条件３の全ての公園を通っている道はないということに矛盾する。
仮定に矛盾するから、少なくとも３つの公園があることになる。
次に３つの公園の位置関係を考える。
３つの道が３ヶ所で出会うように道があれば、条件１、条件２、条件３を満足する。
三角形の３つの頂点のように、このようになる３つの道は可能である。
２）公園が３つしかないと仮定する。
そうすると条件４により道Ｒが存在できない。
これは条件４に、矛盾する。
したがって少なくとも４つの公園が在ることになる。
次に４つの公園の位置関係を考える。
例えば、三角錐の４つの頂点に公園があるとすると、条件４の道Ｒは可能となる。
４つ目の公園は、小高い岡の上にあると考えられる。
【コメント】
公園を点、道を直線、街を平面と言い換えれば、わかりやすかったのではないでしょうか。
実は平面上でも４つの条件を満たすことは可能なのですが、岡の上にあるというのは面白いですね。
よろしかったら、平面上の例も見つけてください。
◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
３つの公園で形成する三角形のなかに第４の公園があっても、道Ｒは可能ですね。
存在出来るエリアは、狭くなりますが。
◆東京都 ひろむ さんからの解答。
街＝平面、公園＝点、道＝直線とした時、道が平行四辺形（頂点が公園）を描けば４の条件は満たせます。
ただ、この仮定において細かいことを言うと、定義に従って直線＝長さ無限とした時、実際の街（地球上）はユークリッド平面ではなく、球面なのでいつか出合ってしまうかもしれませんが。
実際の道は曲線でも両端が行き止まりの線分でもありえるので、公園間を直線で結んだ形がどんな四角形でも４は満たせると思うのですが、それはヘリクツってやつでしょうか。
◆山梨県 Footmark さんからの解答。
【４つの公園の平面上の位置】
図では、６本の線が道で、線の交点が４つの公園になります。
【数学者が「あなたの街には少なくとも４つの公園があるはずですね」と考えた理由】
論理的解法は清川さんが既に示されているので、その数学者が簡単な計算をしたものとして説明します。
「どの２つの公園をとってもその両方を通っている道が１本だけあります。」より、街にある公園の数がＮ個なら、道の数は
| NＣ2＝ | Ｎ(Ｎ−１) ２ |
に、なります。 |
そこで、逆に１つの道Ｒと出会う道を考えてみます。
道Ｒの両端にはそれぞれ１つずつ計２つの公園がありますが、道Ｒに出会う道とは、この２つの公園に至る道の筈です。
それぞれの公園において、自分以外の Ｎ−１ の公園と結ぶ Ｎ−１ の道があります。
ですから、道Ｒの両端の２つの公園では ２(Ｎ−１) あるはずですが、両公園を結ぶ道(道Ｒ)は２回数えているので
２(Ｎ−１)−１＝２Ｎ−３に、なります。
１つの道Ｒに出会うことのない道の数は、すべての道の数から出会う道の数を除いてやれば良いので
| Ｎ(Ｎ−１) ２ |
−(２Ｎ−３) です。 |
一方、「道Ｒと出会わないような道が一つだけあります。」より
| Ｎ(Ｎ−１) ２ |
−(２Ｎ−３) ＝１ |
これを解くと、Ｎ＝１ および Ｎ＝４ になりますが、「街には、少なくとも２つの公園があります。」と「全ての公園を通っているような道はありません。」より、公園の数は３つ以上の筈ですから
Ｎ＝４
つまり、街には４つの公園があることになります。
「２つの道が出会っている場所には必ず１つの公園があります。」より５つ以上の公園の場合は、道は立体交差にしなければなりませんが・・・
公園の数がＮならば、１つの道Ｒに出会うことのない道の数は
| (Ｎ−２)(Ｎ−３) ２ |
になります。 |
公園の数が ３つ,４つ,５つ,６つ,７つ,８つ・・・で、出会うことのない道の数は ０,１,３,６,１０,１５・・・となります。
１番目と３番目の条件より、公園は３つ以上の筈ですが、３つでは４番めの条件を満たすのは不可能です。
ですから、数学者はそういった意味で、「それではあなたの街には少なくとも４つの公園があるはずですね。」
と、言ったけれど、計算が済んだ後ならきっと「それではあなたの街にある公園の数は４つですね。」と、言ったでしょう。