◆海外の大学生 Hirasawa Yasutakaさんからの解答。
（University of North Carolina at Chapel Hill）
X = 40 degree:
Set point E between D and H so that BH = EH.
CH is perpendicular to EB.
Thus, triangle CBE is isosceles and angle ECH = 10.
Draw a line (call it L1) so that extended DA is perpendicular to L1.
Call an intecept of L1 to CE as F.
Call an intercept of L1 to extended DA as G.
Now, angle HBC = 80. (consider a right angled triangle HBC)
angle DBG = 60. (consider a right angled triangle DBG)
Thus, angle GBC = 20 and angle ABG = 10.
Consider four points A, B, C, and F.
The fact that angles ABF = ACF ( = 10) implies These points are actually on the periphery of a circle.
Thus, angles AFB = ACB = 10.
This implies triangle ABF is isosceles.
Thus, BG = GF, i.e. DG intercept mid point of BF with a right angle.
Thus, triangle DBF is isosceles.
Especially it is an equilateral triangle since DBF = 60.
Thus, angle GDF = 30. Also, BF = DF.
Angle FBC = FCB ( = 20).
Thus, triangle FBC is isosceles.
Thus, BF = FC.
Thus, DF = FC, implying that triangle FCD is isosceles.
Angle DFE = 180 - angle EDF - angle DEF. (consider triangle DEF)
angle EDF = 60. and angle DEF = 100.
Thus angle DFE = 20.
Because triangle FCD is isosceles as shown before,2 * angle FDC = angle DFE = 20.
Thus, angle FDC = 10.
Finally, (huuuh....) angle X = GDF + FDC, thus X = 40.
I think this problem is the most challenging angle problem in your web page.
Took me about 2 days (maybe 1 hour each day) to find out above trick!
＜青木訳＞信用しないでくださいね。(^_^;
答え ∠ＡＤＣは４０度
点ＥをＤとＨの間に、ＢＨ＝ＥＨになるように取る。
ＣＨはＥＢに垂直である。
したがって、△ＣＢＥは二等辺三角形で∠ＥＣＨ＝１０度。
点Ｂから直線（Ｌ１と呼ぶ）をＬ１とＤＡの延長が垂直になるように引く。
Ｌ１とＣＥの交点をＦとする。
Ｌ１とＤＡの延長との交点をＧとする。
ところで
∠ＨＢＣ＝８０度。 (直角三角形ＨＢＣなので)
∠ＤＢＧ＝６０度。 (直角三角形ＤＢＧなので)
したがって∠ＧＢＣ＝２０度、∠ＡＢＧ＝１０度。
４点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｆを考える。
∠ＡＢＦ＝∠ＡＣＦ（＝１０）なので、これらの点は一つの円周上にある。
したがって∠ＡＦＢ＝∠ＡＣＢ＝１０度。
このことにより△ＡＢＦは二等辺三角形。
したがってＢＧ＝ＧＦ。
すなわちＤＧはＢＦを垂直に二等分する。
したがって△ＤＢＦは二等辺三角形。
特に、∠ＤＢＦ＝６０度なので正三角形。
したがって∠ＧＤＦ＝３０度。またＢＦ＝ＤＦ。
∠ＦＢＣ＝∠ＦＣＢ（＝２０）
したがって△ＦＢＣは二等辺三角形。
よってＢＦ＝ＦＣ。
これらのことよりＤＦ＝ＦＣなので△ＦＣＤは二等辺三角形。
∠ＤＦＥ＝１８０−∠ＥＤＦ−∠ＤＥＦ（△ＤＥＦで考える）。
∠ＥＤＦ＝６０度。∠ＤＥＦ＝１００度。
したがって∠ＤＦＥ＝２０度。
△ＦＣＤは前述のように二等辺三角形なので、
２×∠ＦＤＣ＝∠ＤＦＥ＝２０度。
したがって∠ＦＤＣ＝１０度。
最後に（フゥー）
∠ＡＤＣ＝∠ＧＤＦ＋∠ＦＤＣ。
したがって∠ＡＤＣ＝４０度。
この問題はあなたのページの中でもっともやりがいのある角度の問題だと思います。
種を見つけるのに２日間ぐらい（おそらく１日１時間）かかりました。
【コメント】
みごと４０゜で正解です。
この補助線は気がつきませんでした。
やはり、４点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｆが一つの円周上にあるというのが証明のポイントなんでしょうね。
ただ実はこの問題は同一円周上にあるという事を使わないでも解けます。
したがって中学校２年生でもよく考えれば解けると思います。
もし別な解答を考えた方がおいでましたら、ぜひメールを送ってくださいね。
◆岐阜県 一週間悩んだよ！！！ さんからの解答。
∠ＤＡＨ＝６０°なので、ＤＡを点Ａから延長した半直線ＤＡ上に
∠ＡＣＯ＝６０°となる点Ｏをとると、△ＡＯＣは正三角形である。
（∠ＡＣＯ＝∠ＣＡＯ＝６０°より）
よって、∠ＡＯＣ＝６０°である。
すると、仮定より∠ＡＢＣ＝３０°であるから、
中心角∠ＡＯＣ＝６０°に対し、円周角∠ＡＢＣ＝３０°と考えれば、円周角の定理の逆も成り立つので、
点Ｂは、中心Ｏで半径ＯＣ（あるいはＯＡ）の円周上にあることが分かる。
すなわち、△ＡＢＣの外接円の中心（外心）が、点Ｏであることが分かる。
すると、∠ＡＯＢは、円周角∠ＡＣＢ＝１０°の中心角だから、
∠ＡＯＢ＝２０°になる。
次に、直線ＯＢと直線ＣＨとの交点をＰとすると、
△ＯＡＰにおいて、∠ＯＡＣ＝６０°は外角だから、
∠ＯＰＡ＝∠ＯＡＣ−∠ＡＯＰ＝６０°−２０°＝４０°になる。
すると、△ＢＡＰにおいて、
∠ＢＰＡ＝４０°
∠ＢＡＰ＝４０°
（△ＡＢＣにおいて、外角∠ＢＡＰ＝∠ＡＢＣ＋∠ＡＣＢより）
であるから、△ＢＡＰは二等辺三角形である。
すると、仮定より∠ＢＨＡ＝９０°であるから、
ＢＨはＡＰを垂直に二等分することが分かる。
そうすると、△ＤＰＡはＤＰ＝ＤＡの二等辺三角形になり、
しかも、∠ＤＡＰ＝６０°なので、△ＤＰＡは正三角形となる。
そうなると、
△ＰＯＣと△ＤＣＯにおいて、
△ＤＰＡも△ＡＯＣも正三角形であるから、
ＰＣ＝ＰＡ＋ＡＣ＝ＤＡ＋ＡＯ＝ＤＯ・・・(1)
また、ＯＣ＝ＣＯ（共通）・・・(2)
∠ＰＣＯ＝∠ＤＯＣ＝６０°・・・(3)
よって、(1)〜(3)より、２組の辺とその夾む角がそれぞれ等しいので、
△ＰＯＣ≡△ＤＣＯとなり、対応する角は等しいので、
∠ｘ（＝∠ＣＤＯ）＝∠ＯＰＣ＝４０°
◆奈良県の中学校１年生 耶武 さんからの解答。
ＡＨのＨの延長線上にＥＨ＝ＡＨとなるようにＥをとる。
△ＡＢＣの外心をＦとする。
∴ＦＡ＝ＦＢ＝ＦＣ
△ＡＤＨと△ＤＥＨにおいて、
ＤＨ共通、
ＡＨ＝ＥＨ、
∠ＤＨＡ=∠ＤＨＥより、
△ＡＤＨ≡△ＤＥＨ（２辺夾角）となる。
∴ＡＤ＝ＤＥとなる。
∠ＤＡＥ＝90-30＝60度より
ＡＤ＝ＡＥ＝ＤＥ。(1)
上と同様に、ＢＥ＝ＡＢとなる。(2)
∠ＡＦＢ＝α、∠ＡＦＣ＝βとして連立方程式を立てると
|
180−α ――――― 2 | ＝ |
180−α−β ――――――― 2 | +30 |
|
180−β ――――― 2 | ＝ |
180−α−β ――――――― 2 | +10 |
これを解くとα＝20度、β＝60度となる。
∠ＡＦＣ＝60度（対頂角）より上の作図より△ＡＣＦは、正三角形である。(3)
また∠ＡＦＢ＝20度、ＢＦ＝ＡＦより、
∠ＡＢＦ＝80度。(4)
∠ＡＢＣ＝30度、∠ＡＣＢ＝10度より
∠ＥＡＢ＝40度。(5)
(2)より∠ＡＢＥ＝180-40*2＝100度(6)
(4)(5)より∠ＥＢＦ＝180度
∴Ｅ、Ｂ、Ｆの3点は一直線上にある。
(1)(3)∠ＥＡＦ＝∠ＤＡＣ（対頂角）より、
△ＥＡＦ≡△ＤＡＣ（２辺夾角）
∴∠ＡＥＦ＝∠ＡＤＣ
(2)(5)より、∠ＡＥＦ＝４０度。
よって∠ＡＤＣ＝４０度
感想：Ｅ、Ｂ、Ｆが一直線上にある良い証明は、無いのかな〜。
◆宮城県 アンパンマン さんからの解答。
AHからHM＝AHの線をひく。
∠DAH＝９０-∠HDA＝60度から△DMAは正三角形です。
∠HAB=∠ABC＋∠ACB＝40度から
∠HMB＝40度。
∠HBM=∠HBA=90-∠HAB=50度。
MBとDAの交差点をN、
∠BAN=180-∠BAH-∠HAD=80度。
∠ABN=180-∠ABH-∠HBM=80=∠BAN
∠BNA=180-∠BAN-∠ABN=20度=2*∠BCA
よってNは△ABCの円のセンターです。
つまりNA=NB＝NC
∠NAC＝∠DAH＝60度より
△ANCは正三角形∽△DMA
よって□MNCDは円に内接する四角形です。
したがってADC＝BMA＝40度。
◆静岡県 村松 芳子 さんからの解答。
△ＡＢＣを直線ＡＣで折り返し、△ＡＣＥを作図する。
このとき、ＥはＨＤ上にくる。
次に、△ＡＢＣを直線ＢＣで折り返し、△ＣＢＦを作図する。
ここで、△ＣＢＥは両底角８０°の二等辺三角形、△ＡＢＦは正三角形、△ＡＦＧは両底角８０°の二等辺三角形であると言える。
次に、ＤＡを延長しＣＦとの交点をＧとする。
∠ＥＤＧ＝∠ＥＣＧ＝３０°だから、Ｄ，Ｅ，Ｇ，Ｃは同一円周上の点である。
ゆえに、∠ＣＧＤ＝∠ＣＥＤ＝１００°である。
△ＡＧＦにおいて、∠ＡＧＦ＝８０°＝∠ＡＦＧだから、∠ＧＡＦ＝２０°
となり、ＡＧ＝ＡＦである。
もとより、ＡＥ＝ＡＢ＝ＡＦだから、ＡＥ＝ＡＧである。
∠ＥＡＧ＝１６０°だから、∠ＡＥＧ＝∠ＡＧＥ＝１０°である。
ゆえに、∠ＣＤＧ＝∠ＣＥＧ＝３０°＋１０°＝４０°
すなわち、∠ＡＤＣ＝４０°である。（終わり）
