これを計算すると、
☆ｎが奇数の場合、 ｋは１から（ｎ＋１）／２まで変化させればよいから 求める正方形の個数は
これを計算すると、
◆Machida-City, Tokyo Akira Yamazaki(yuppie)さんからの解答。
思わず(朝になってるのに気づかず)、解いてしまいました。 >うーむ、すごい集中力だ。 「面積が1という条件をはずして、正方形の数を求める問題」を考えてみました。 やはり非常に難しい(面倒?)な問題でした。 解答： n段のとき作れる正方形の数は、 i) n = 2m-1 のとき m(4m2+3m-1)/6 個 ii) n = 2m のとき m(4m2+9m+5)/6 個 ( m = 1,2,3,... ) でした。 まず、考えたことは「どのようにすれば定性的に正方形の数を数えられるか」 ということです。これは以下の着想で意外に簡単に知ることができます。 _ . . |_|_ . . . ／ |_|_|_ . . . . ／／ |_|_|_|_ . . . . . ／／／ |_|_|_|_|_ . . . . . . ／／／／ |_|_|_|_|_| . . . . . . ／／／／／ Fig1 Fig2 Fig3 まず、Fig1のような階段があるとすると、その格子点を考える(Fig2)。 この格子点から、作ろうとする正方形の「対角線を構成する2点」を選べば良 い。ここで、対角線はFig3のようにとれば間違いなく正方形のみを構成するこ とができる。たとえばFig4のような点集合( 。)を選んだとする。 . . . . . . . . 。 . . 。 . . . 。 . . . . 。 . . . . . Fig4 この点集合から作られる正方形(の対角線)の数は4つから2つをとる組合わせの 数であり、((m,n)は、ここでは組合わせの数(combination)を表す) (4,2) = 4*3/2! = 6 通りである。このようにしてすべての点を「斜めに」数えて、そこから２つを とる組合わせの数を計算し、合計すれば望む答えが得られるはずである。 さて、次にn段のときのFig4のような特定の「斜めの列」の点の数を定性的に 表さなければならない。Fig4であれば、斜めの列の点の数は上から、 2個 2個 3個 3個 4個 3個 3個 2個 2個 である。この数を合計してはいけない。それぞれの数に対して(*,2)を計算し なければならないからである。この数字の配列(数列)は階段の数に応じて以下 のようになっている。 1段 2 2段 2 2 2 3段 2 2 3 2 2 4段 2 2 3 3 3 2 2 5段 2 2 3 3 4 3 3 2 2 ( <- Fig4 ) 6段 2 2 3 3 4 4 4 3 3 2 2 : : これらから数列a(n)をn段のときに存在する正方形の数とすれば、 a(n) = a(n-1) + ( [(n-1)/2]+1 , 2 ) + ( [n/2]+1 , 2 ) , a(1)=1,a(2)=3 となっていることが分かる。ただし、[n]はnを四捨五入した数であり、(m,n) は先ほどと同じくmからnをとる組合わせの数である。 ここまで分かれば n=2m-1 と n=2m の場合わけて数列の一般項を求めれば良い。 (さすがに中学生では、解くのは無理でしょうね。) ということで、これを解くと, a(2m-1) = m(4m2+3m-1)/6 …(1) a(2m) = m(4m2+9m+5)/6 ( m = 1,2,3,... ) …(2) となりました。おそらくこれは正しいでしょう。ちなみに、 n=1 つまり m=1で(1)のとき a(1)=1 n=2 つまり m=1で(2)のとき a(2)=3 n=3 つまり m=2で(1)のとき a(3)=7 n=4 つまり m=2で(2)のとき a(4)=13 n=5 つまり m=3で(1)のとき a(5)=22 n=6 つまり m=3で(2)のとき a(6)=34 : n=9 つまり m=5で(1)のとき a(9)=95 n=10つまり m=5で(2)のとき a(10)=125 となりました。(n=6以上は数えてないのであってるか分かりませんが^^;) -- 感想 -- うーむ。つかれた....暇なときにはひじょーにいい刺激になりますね。
【コメント】
私も責任上すべて確認しました。
まちがいなく、正解です。
最初の問題（１）、（２）を作った生徒は呆然とするでしょうね。
私自身ひさしぶりに、よい勉強になりました。
そのうちまた暇をつぶせる？問題を出題しますね。
◆神奈川県 sharimaさんからの解答。
ｎ段における面積ｈｘｈの正方形の数を求める方法は次のようになります。
| １＋２＋３＋・・・＋ | ｎ−ｈ＋１ ｈ |
従って，
| 面積１の正方形の数は | ｎ（ｎ＋１） ２ | です。 |
| ｎ−ｈ＋１ ｈ | は整数である必要があるから， |
例えば
面積２ｘ２（４）の数は，１＋２＋・・・・ （ｎ−１）／２
３ｘ３（９） １＋２＋・・・・ （ｎ−２）／３
４ｘ４（１６） １＋２＋・・・・ （ｎ−３）／４
・
・
・
そしてｎが決まれば，各面積ｈｘｈの正方形の数は上の各個数を加えればよい。
面積１の数は，（ｎ−ｈ＋１）／ｈ＝１０ですから全部で ５５個
２ｘ２ ， ＝４．５ → ４ １０個
３ｘ３ ＝２．６６ → ２ ３ 個
４ｘ４ ＝１．７５ → １ １ 個
５ｘ５ ＝１．２ → １ １ 個
６ｘ６ ＝０．８３ → ０
合計 ７０個
【コメント】
私は最初は解答の意味がわからなかったのですが、sharimaさんにお聞きしてわかりました。
正方形が重なる場合がないとしての解答だったのですね。
問題の意味が分かりにくくてすいません。
重なった部分があっても別の正方形として数えてください。
重複を許さないとすれば、７０個で正解です。
◆石川県 マイマイプーさんからの解答。
神奈川県 sharimaさんからの解答がヒントになりました。
面積１（つまり１辺１）の正方形の個数は １からｎまでの和 面積４（つまり１辺２）の正方形の個数は ｎ＝４→１＋２ ｎ＝５→１＋２＋３ ｎ＝６→１＋２＋３＋４ つまり、１からｎ−２までの和。 面積９（つまり１辺３）の正方形の個数は ｎ＝５→１ ｎ＝６→１＋２ ｎ＝７→１＋２＋３ つまり、１からｎ−４までの和 一般に面積ｋ２（一辺ｋ）の正方形の個数は １＋２＋・・・＋｛ｎ−２（ｋ−１）｝ ☆ｎが偶数の場合、 ｋは１からｎ／２まで変化させればよいから 求める正方形の個数は
これを計算すると、
☆ｎが奇数の場合、 ｋは１から（ｎ＋１）／２まで変化させればよいから 求める正方形の個数は
これを計算すると、
【コメント】
この解答で面白いのは、当然なのかもしれませんが、
| 奇数と偶数の場合の答えの差が | １ ８ |
になったことです。 |
| 1 12 | n3+ | 3 8 |
n2+ | 5 12 | n+ | 1 16 |
+ | （-1）n+1 16 |
とでもすれば両者を統一できそうですね。
◆山梨県 Footmark さんからの解答。
マッチ棒の１つの交点に任意の大きさの正方形の右上の角がある時、正方形の左下の角がとり得る点は、その交点から斜め左下方向にある交点です。
これらの交点の数こそが、特定した１つの交点に正方形の右上の角がある時の、任意の大きさの正方形の数の筈です。
８段を例に、各−の交点に右上の角がくる正方形の数を、その交点に記入すると以下になります。
１ｘ１の正方形を積み上げていくのですから、交点に１以上が記入されている箇所だけが問題になります。
ですから、１番左と１番下は除いて、交点に記入された数字だけを図で表すと以下になります。
１ｘ１の正方形をｎ段積み重ねた時のすべての正方形の数は、上図の合計段の数列の１番目からｎ番目までの総和になります。
数列の１番目からｎ番目までの総和をＳ(ｎ)で表すと、
| ◆ ｎが偶数の時は、 | ｎ ２ |
＝ｍ とすると |
| Ｓ(ｎ)＝２{ | ｍ(ｍ＋１)(２ｍ＋１) ６ |
}＋ | ｍ(ｍ＋１) ２ |
| ここで、ｍ＝ | ｎ ２ |
に戻すと |
Ｓ(ｎ)
| ＝ | ｎ(ｎ＋１)(ｎ＋２) １２ |
＋ | ｎ(ｎ＋２) ８ |
| ＝ | ２ｎ3＋９ｎ2＋１０ｎ ２４ |
| ＝ | ｎ(ｎ＋２)(２ｎ＋５) ２４ |
| ◆ ｎが奇数の時は、 | ｎ＋１ ２ |
＝ｍ とすると |
| Ｓ(ｎ)＝２{ | ｍ(ｍ＋１)(２ｍ＋１) ６ |
}＋ | ｍ(ｍ＋１) ２ | −ｍ(ｍ＋１) |
| ここで、ｍ＝ | ｎ＋１ ２ |
に戻すと |
Ｓ(ｎ)
| ＝ | (ｎ＋１)(ｎ＋２)(ｎ＋３) １２ |
＋ | (ｎ＋１)(ｎ＋３) ８ |
− | (ｎ＋１)(ｎ＋３) ４ |
| ＝ | ２ｎ3＋９ｎ2＋１０ｎ＋３ ２４ |
| ＝ | ｎ(ｎ＋２)(２ｎ＋５) ２４ | ＋ | １ ８ |
◆ ｎが偶数の時と奇数の時を統合した一般式は
| Ｓ(ｎ)＝ | ｎ(ｎ＋２)(２ｎ＋５) ２４ | − | (−１)n−１ １６ |
１ｘ１の正方形を１０段目まで積み上げたのなら、
Ｓ(１０)
| ＝ | １０(１０＋２)(２x１０＋５) ２４ |
− | (−１)10−１ １６ |
| ＝１２５ |
任意の正方形は１２５個あります。