中学生からの挑戦状Part2解答

◆Machida-City, Tokyo　Akira Yamazaki(yuppie)さんからの解答。

yuppieはペットの名前だそうです。

The answer is as follows,

1. When 10 stairs to compose, 130 matches we need.
2. When n stairs to composes, n(n+3) mathes we need.

To conduct the answer:
When n stairs,
	1st, count each stair's under part, as following fig. indicates.
		 _
		|_|_	___ count here (1)
		|_|_|_	___ count here (2)
		|_|_|_|	___ count here (3)

		Fig. when 3 stairs

	     When 3 stairs, as shown in Fig. We count 1+2+3.
	     So, when n stairs, it amounts n(n+1)/n (=1+2+ ... +n)

	2nd, count each stair's step. this clearly, counts n when n stairs
	3rd, count matches supporting each stairs, as following fig.
		 _
		|_|_	--- count here (2)
		|_|_|_	--- count here (3)
		|_|_|_| --- count here (4)

		Fig. when 3 stairs

	     When 3 stairs, as shown in Fig. We count 2+3+4.
	     This'll be extended to (1+1)+(2+1)+(3+1)+...+(n+1) 
	     in n stair's case. And calculated into n+n(n+1)/2

	Finally, we must integrate 1st to 3rd steps, and can conduct

		n(n+1)/2 + n + n+ n(n+1)/2 = n(n+3)		Q.E.D

I'm a lover of math. Such questions excites me to solve.
Is it evident to be solved by such a man who is a graduate school 
student majoring AI(Artificial Intelligence)?

「数学の部屋」にも、ついに英語の解答がきましたか。(^_^;
みごと正解だと思います。
図を３つの部分に分けて考えたアイディアが大変面白いですね。
正直いって感心してしまいました。
こんな風に丁寧に考え方を書いてくださると、大変ありがたいです。

これは生徒の考えていた方法とも違うし、私の考えていた方法とも違います。
単純な図でも、いろいろな考え方があるものですね。
他の方法も、興味のある方、考えてみてください。
もしできたらメールくださいね。

◆神奈川県　sharimaさんからの解答。

おじさんの頭の体操になり感謝しています。

>どういたしまして。
>私としては解答メールが送られてくるのが、一番励みになります。

＜解答＞

ｎ段を階段ではなく，まず正方形に積んだとしてマッチ棒の本数は，
２ｎ（ｎ＋１）本と数え，
次にその半分として，
ｎ（ｎ＋１）本プラス２ｎとする。
従って，答は

　　ｆｎ＝ｎ（ｎ＋３）

【コメント】

なるほど、こんな方法があったのですか。

正方形に積んだとすると、例えば４段の場合なら、

		 _ _ _ _
		|_|_|_|_|
		|_|_|_|_|
		|_|_|_|_|
		|_|_|_|_|

半分にして、最後に階段の段の部分の２ｎを加えると解決！！。

鮮やかな解決で、考えていて大変楽しかったです。

◆Techwell, Inc. Silicon Valley, USA　Hiro Kozatoさんからの解答。

How about this ;

　4n+(n-1)n/2×2
= 4n+n²-n
= n²+3n
=n(n+3)

【コメント】

海外からの解答ありがとうございます。

		 _ 
		|_|_
		|_|_|_
		|_|_|_|_
		|_|_|_|_|


上の例でいうと
		 _ 
		|_|_
		  |_|_
		    |_|_
		      |_|
                      
が４ｎ。

それに、

	|
	| |
	| | |　　１＋２＋３
と	  
	 _
	 _ _
	 _ _ _ 　１＋２＋３

◆愛知県　公認余計士 さんからの解答。

横の棒に着目すると、ｎ段のときの最低辺（０段目）の棒の数は、段数と同じｎ本になる。
後は１段目のｎ本から１段上がるごとに１本ずつ減っていき、ｎ段目で１本になる。
従って、その合計は、

n+{n+(n-1)+(n-2)+･･･+2+1}

= n+

n(n+1) 2

=

n(n+3) 2

となる。

縦の棒は横の棒と同数あるので、全体の総計は、

2×

n(n+3) 2

= n(n+3)　となる。

よって、１０段のときの棒の総数は、
10(10+3) = 130　となる。

◆山梨県　Footmark さんからの解答。

１ｘ１の正方形をｎ段目まで積み上げたものとすると、一番左と一番下のマッチ棒の本数は、それぞれｎ本なので
合わせて２ｎ本。

１ｘ１の各正方形の上と右のマッチ棒の本数は、それぞれ２本で、

正方形の数は、

ｎ(ｎ＋１) ２

個ありますから、

１ｘ１のすべての正方形の上と右にあるマッチ棒の数は

２ｘ

ｎ(ｎ＋１) ２

本＝ｎ(ｎ＋１)本

ですから、マッチ棒の総数は
２ｎ＋ｎ(ｎ＋１)本＝ｎ(ｎ＋３)本

１０段目まで積み上げたのなら、
１０ｘ(１０＋３)本＝１３０本

◆愛知県の中学校３年生　三輪　耕ちゃん さんからの解答。

図をじぃ〜っと見てたらひらめきました♪

(n+1)²+(n-1)

10段目まで積み上げたら
(10+1)²+(10-1)

121+9=130　となります。

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