◆兵庫県 浜上 正史さんからの解答。
算数的な解答で申し訳ありません。
直方体の裏には道はないものとして考えます。
（１）
Ａ点から２の方向へ２つ進んだ点をＤ点とします。
Ｄ点から１の方向へ１つ進んだ点をＥ点とします。
Ｅ点から１の方向へ１つ進んだ点をＦ点とします。
Ｆ点から１の方向へ１つ進んだ点をＧ点とします。
Ｇ点から０の方向へ１つ進んだ点をＨ点とします。
Ａ点からＤ点まで行くには ２２ の１とおり
Ｄ点からＢ点までは
１１１００， １１０１０
１１００１， １０１１０
１０１０１， １００１１
０１１１０， ０１１０１
０１０１１， ００１１１ の１０とおり
※（５の順列÷（３の順列×２の順列））でも１０とおりと計算できます
よって、Ａ点からＤ点を通りＢ点にいく場合は
１×１０＝１０とおり
Ａ点から（Ｄ点を通らないで）Ｅ点にいくには １２２、２１２ の２通り
Ｅ点からＢ点に行くには
１１００， １０１０
１００１， ０１１０
０１０１， ００１１ の６とおり
※（４の順列÷（２の順列×２の順列）） でも６とおりと計算できます
よって、Ａ点から（Ｄ点を通らないで）Ｅ点を通りＢ点にいく場合は
２×６＝１２とおり
Ａ点から（Ｄ，Ｅ点を通らないで）Ｆ点にいくには、
１１２２
１２１２
２１１２の３とおり
Ｆ点からＢ点に行くには
１００， ０１０
００１ の３とおり
よって、Ａ点から（Ｄ，Ｅ点を通らないで）Ｆ点を通りＢ点にいく場合は、
３×３＝９とおり
Ａ点から（Ｄ，Ｅ，Ｆ点を通らないで）Ｇ点にいくには
１１１２２， １１２１２
１２１１２， ２１１１２ の４とおり
Ｇ点からＢ点に行くには ００ の１とおり
よって、Ａ点から（Ｄ，Ｅ，Ｆ点を通らないで）Ｇ点を通りＢ点にいく場合は、
４×１＝４とおり
Ａ点から（Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｇ点を通らないで）Ｈ点にいくには
１１１０２２， １１１２０２
１１２１０２， １２１１０２
２１１１０２ の５とおり
Ｈ点からＢ点に行くには ０ の１とおり
よって、Ａ点から（Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｇ点を通らないで）Ｈ点を通りＢ点にいく場合は
５×１＝５とおり
１１１００２２，１１１０２０２
１１１２００２，１１２１００２
１２１１００２，２１１１００２ の６とおり
答え ４６とおり
（２）
１１１００２２，１１１０２０２
１１１０２２０，１１１２００２
１１１２０２０，１１１２２００
１１２１００２，１１２１０２０
１１２１２００，１１２２１００
１１２２０１０，１１２２００１
答え １２とおり
（３）
３６×１＝７２９
３５×１＝２４３
３４×１＝８１
３１×２＝６
３０×２＝２
合計 １０６１
【コメント】
すばらしい解答ありがとうございます。
きちんとした場合分けは大変数学的だと思います。
他のやり方を考えた方はメールくださいね。
ところで、この解答をもらってから
（４）もし、直方体の底面にも同じように道があるとすると、（１），（２）の答えはどのようになるか。
という問題を追加しました。少し変わると思うのですがどうでしょうか。
簡単になるのか、難しくなるのか？。また挑戦してみてくださいね。
◆数学好きのおじさんこと神奈川県 sharima さんからの解答。
直方体の底面にも同じように道がある場合の解答がさっそくきました。
（１）の解答
これは下例のように，０，１，および２からなる７桁の数で，０が２個，１が３個，２が２個の組み合わせの数に等しいと思います。
然しながら，答は時間が掛りそうで分かりませんでした。
確かこれを解く式が在ると記憶しています。
例 ００１１１２２，００１１２１２，００１１２２１から・・・・・２２１１１００まで
（２）の解答
同様に，０，１，および２からなる５桁の数で，０が２個，１が１個，２が２個の全組合せの数に等しい。
００１２２，００２１２，００２２１から・・・・・２２１００まで
【コメント】
これはすばらしいアイディアですね。
私も○○年前の高一の参考書を探してしまいました。
平面の場合はそれで正解だと思います。
たぶん公式は、例えば（１）では
７！／（２！×３！×２！）＝２１０通り
（！は階乗の記号です、例えば３！＝３×２×１）
でもなぜか多すぎますね。
私も空間でも正しいのかと思ったのですが、大変なことに気がつきました。
例えば（１）では、１，０，２・・・といったパターンは直方体の中に入ってしまうので、ありえないのではないでしょうか。
このアイディアを発展させて、ぜひ正解を見つけてください。
他にも解けた方がおいでましたら、メールをお待ちしています。
◆京都府 釜坂 正芳 さんからの解答。
「浜上さんの解答」は左側の面（図では見えてない）からの経路が抜けているようです。
計算で出す場合，底面にも道がある問４の方が簡単なので，まずこちらから。
（４）の解答
０，０，１，１，１，２，２，の並べ替えてできる順列の数は
７！÷（２！×３！×２！）
＝２１０（通り） ※
もとの図形を立方体の集まりと考えると，立体内部に立方体の頂点が集まった２点
（Ｐ（Ａに近い方），Ｑ）が存在し，この２点を通る経路の数を引く必要があります。
ＡからＢへ行く経路の数，ＡからＰを経由してＢへ行く経路の数をそれぞれ
Ｎ（Ａ，Ｂ），Ｎ（Ａ，Ｐ，Ｂ）と表すことにします。
Ｎ（Ａ，Ｐ）は０，１，２の順列，
Ｎ（Ｐ，Ｂ）は０，１，１，２の順列になり，
Ｎ（Ａ，Ｐ）＝３！＝６
Ｎ（Ｐ，Ｂ）＝４！÷２！＝１２
したがって，
Ｎ（Ａ，Ｐ，Ｂ）＝Ｎ（Ａ，Ｐ）×Ｎ（Ｐ，Ｂ）＝７２
また，対称性から，
Ｎ（Ａ，Ｑ，Ｂ）＝Ｎ（Ｂ，Ｑ，Ａ）＝７２
しかし，Ｐ，Ｑの両方を通る経路を２重に数えているので，引く必要があります。
Ｎ（Ａ，Ｐ，Ｑ，Ｂ）
＝Ｎ（Ａ，Ｐ）×Ｎ（Ｐ，Ｑ）×Ｎ（Ｑ，Ｂ）
＝６×１×６
＝３６
よって
２１０―（７２＋７２―３６）＝１０２（通り）
［中学生のみなさんに ※の式の説明］
重複順列といって，この公式は高校で習いますが，この公式を使わない考え方を簡単に説明します。
□□□□□□□の７つのマスに「０」を１つ入れます。
入れ方は７通りです。
次にもう１つの「０」を入れます。
入れ方は６通りです。
仮に１つ目を３番目，２つ目を６番目にいれた場合，
□□０□□０□のようになります。
しかし，１つ目を６番目，２つ目を３番目に入れた場合も全く同じになります。
したがって，「０」の入れ方は，
７×６÷２＝２１（通り）になります。
つぎに，残りの５つのマスに２つの「２」を入れるわけですが，同じように考えて，
５×４÷２＝１０（通り）になります。
残ったマスは３つですから，そこに「１」を入れます。
もちろん，１通り
２１×１０×１＝２１（通り）となります。
順列・組合せは，まだ知らないと思いますが，組合せの記号で書くと
7Ｃ2×5Ｃ2×3Ｃ3 となります。
また，「１」よりさきに「２」を入れたのは，この方が簡単だからです。
いつでもこういう工夫をするように，してください。
（１） の解答
底面に道がない場合ですが，Ｐ，Ｑの下の２点も通れないことになります。
つまり，４点のうち，少なくとも１点を通る経路の数を２１０から引けばよいのですが，場合分けがかなり大変になります。
そこで，別の方法を考えます。
奥の面を通ると遠回りになりますから，それ以外の面の展開図を考えます。
@ 手前の面と右側の面（ピンクの斜線部分）を通ってＡからＢへの経路の数は
右，右，右，右，右，上，上の順列の数と同じになりますから，
７×６÷２＝２１（通り）になります。
A 手前の面と上の面を通る経路の数は，
右，右，右，上，上，上，上の順列の数と同じ。
７×６×５÷（３×２×１）＝３５（通り）
B 左側の面と上の面を通る経路の数は，@と同じで，２１通り
しかし，青い線で示すような経路は@とAで二重に数えています。
この経路の数は
Ｎ（Ａ，Ｅ）＝５×４÷２＝１０（通り）
同様に緑の線で示すような経路もAとBで二重に数えていて，
おなじく Ｎ（Ｄ，Ｂ）＝１０（通り）
したがって，すべての経路の数は，
２１＋３５＋２１―１０―１０＝５７（通り）
【原始的だが意外に使える解法】
中学受験をした経験のある人なら知っていると思いますが，ある格子点（交差点）には，左からと，下から来ることが出来るので，その数字を加えていくという方法です。
例としてＡからＥへ行く場合を示します。
例えば点Ｔの場合，左からの１と下からの２で３になります。
先に高校で習う公式※を書きましたが，通れない点がある問題などは，※の公式を使うより，原始的と思えるこの方法の方が早いときがあります。
この問題（４）も一番早いかも知れません。
ただ，立体になってますから，最初と，最後の方は，（特に○の部分）は注意する必要があります。
部分的に数字を入れておきますから，点線で結んである点は同じ点であることに注意してやってみて下さい。
どうです？簡単でしょう。
