◆神奈川県 シャリマさんからの解答。
ご本人は「数学好きの５６才のおじさんです。」とのことです。
問題の図を見ていたら，以下のことが分かったので直ぐに式が出来ました。
即ち，ｎ番目のおはじきの数はよく見ると
ｎ×ｎ＋（ｎ−１）（ｎ−１） となっていました。
従って，おじさんの解答は図からヒントを得て下式になりました。
ｆｎ＝２ｎ（ｎ−１）＋１
【コメント】
一般の社会人の方が数学に取り組んでくださるというのは、大変嬉しく思います。
この解答の意味が、図をじっくり見て分かったときは感動しました。
今は夏休みなので、後に問題を作った生徒からのコメントも載せますね。
ちなみにシャリマさんは、次の数列の性質にも気がついたそうです。
| １番 | ２番 | ３番 | ４番 | ５番 | ・・・ | |||||
| 数 | １ | ５ | １３ | ２５ | ４１ | ・・・ | ||||
| 差 | ４ | ８ | １２ | １６ | ・・・ | |||||
| 差 | ４ | ４ | ４ | ・・・ |
この性質を使ってもできそうですね。
方法を考えた方はメールお願いいたします。
◆千葉県 渡辺 公雄さんからの解答。
高１の娘と中１の息子がいますが、久しぶりに、数学の問題をといてみました。
ｎ2＋(ｎ-1)2
意外と分かるものですが、随分な問題をだしますね。
【コメント】
こちらも社会人の方ですね。
タッチの差でしたが、シャリマさんと同じ考え方でしょうか。
もし違う方法だったらぜひ教えてください。
この問題は、出題した３年生は自分の自信作だといっていました。
解答がきたと知ったら大変喜ぶと思います。
頭の体操に他の問題も解いてみてくださいね。
◆石川県 かいせき屋さんからの解答。
マジックのようなテーマが見つかりましたら、お知らせ下さい。
ｎ×ｎ＋(ｎ-1)×(ｎ-1)
【コメント】
またも社会人の方です。
石川県からのメールというのはうれしいですね。
今まで、地元からの解答がなかったので。(^_^;
しかし、マジックのようなテーマというのは？？？
だれか【挑戦その２】をといてくれないかなぁー。
◆群馬県 小野上中学校３年男子の あげものさん からの解答。
ｎ＝１のとき １＝０＋ １＝０2＋１2＝（１−１）2＋１2
ｎ＝２のとき ５＝１＋ ４＝１2＋２2＝（２−１）2＋２2
ｎ＝３のとき １３＝４＋ ９＝２2＋３2＝（３−１）2＋３2
ｎ＝４のとき ２５＝９＋１６＝３2＋４2＝（４−１）2＋４2
結構、簡単ですぐにきまりがみつかりました。
【コメント】
今度は中学生の方です。
この関係はたぶん図形からではなくて、数の性質から見つけたのかな。
数に対する感覚の鋭さを感じます。(^_^;
あのガウスさんも（知らないかな）こういった感覚が大変鋭かったそうです。
数学を学ぶ上でこれはとても大切なことです。
他の問題にも挑戦してみてくださいね。
◆鹿児島県の大学生 たのさん からの解答。
answer
ｎの２乗＋(ｎ−１)の２乗じゃないかな？
ｎ＝１の時も成り立つ。
まあ、こんなもんでしょ！
なかなかよかったんじゃないかな？
余裕！
とかなんとか言っておきながら間違ってたら恥ずかしい！
では、さいなら〜
【コメント】
数学の部屋は間違うかもしれなくとも、恥ずかしがらないで解答してください。
みんなでいろんな問題に取り組むことが目的のページですから。
参加することに意義がある！！(^_^;。
◆神奈川県の中学校１年生 自称天才 善貴 さんからの解答。
怪盗（解答）
ｎ2＋（ｎ−１）2
数学は得意分野だからすぐ解けた。
面白かった。もっとたくさん問題作ってください。
パイ＝３．１４１５９２６５３５８９７９３２３８４６２６４３３８３２７９５０２８８４１９７１６９３９９３７５１０
【コメント】
もう余裕で解いているって感じですね。
さすが自称天才。
ところで最後のパイはなんなんでしょう！(^_^;。
◆岡山県の中学校３年生 前原 裕子さんからの解答。
ｎ×ｎ+（ｎ−１）×（ｎ−１）
高梁中学校の選択数学の時間に楽しみながら解きました｡
【コメント】
選択数学の時間に取り組んでいただいたとは大変ありがたいです。
よかったら他の問題もどんどん解いてくださいね。
みんなで数学を楽しもう！！。
◆兵庫県の中学校３年生 杉山 亮輔さんからの解答。
｛ｎ＋（ｎ−１）｝×（ｎ−１）＋ｎ
選択数学の宿題で解きました。
簡単でした。
【コメント】
思わずこの式の意味を考え込んでしまいました。
◆群馬県の中学校３年生 中島 圭佑さんからの解答。
ｎ×ｎ＋（ｎ−１）（ｎ−１）
◆埼玉県の高校生 Tomo さんからの解答。
高校生の解き方
与えられた数列
a(n)=1,5,13,25・・・
の階差数列は
b(n)=4,8,12・・・
となり、これは初項４、公差４の等差数列である。
よって
b(n)=4+4(n-1)
この数列の和は
S(n)=n{2*4+4(n-1)}/2=2n(n+1)
n≧２のとき
a(n)=1+S(n-1)=1+2(n-1)n=2n2-2n+1
これはn=1のときも成り立つ
ゆえに a(n)=2n2-2n+1
簡単な解答
２番目のおはじきの数は
22+12=5
３番目のおはじきの数は
32+22=13
ｎ番目のおはじきの数は
n2+(n-1)2=2n2-2n+1
◆香川県の高校生 鶴 さんからの解答。
ｎ×ｎ＋(ｎ−１)(ｎ−１)
僕もこの手の問題はよく解きました。
しかし、中学生が作ったとはすばらしい。
◆神奈川県 34才会社員 さんからの解答。
まず、n＝2,3のときを考えます。
このときの１番上と２番目の行には丸の数が１個違いますよね。
これをひとつのグル−プにすると合計が 2ｎ-1 となります。
これがｎ＝2のときは１グル−プ、
ｎ＝3のときは２グル−プ
つまり、ｎ-1 グル−プとなります。
最後の行には丸がｎ個あるので合計は
(2n-1)(n-1)+n となり
f(n)=2n(n-1)+1 に帰着します。
ちなみに f(1)=1なのでＯＫです。
◆岐阜県の中学校３年生 くさったミカン さんからの解答。
挑戦その1は、この式で解くことができる。
2（ｎ×ｎ）-（2ｎ-1）
◆京都府の中学校３年生 奥田 さんからの解答。
ｎ×ｎ+（ｎ−１）×（ｎ−１）
◆神奈川県の小学生 てつろー さんからの解答。
〈１番目〉
（１×１）＋｛（１−１）×（１−１）｝＝１
〈２番目〉
（２×２）＋｛（２−１）×（２−１）｝＝５
〈３番目〉
（３×３）＋｛（３−１）×（３−１）｝＝１３
〈４番目〉
（４×４）＋｛（４−１）×（４−１）｝＝２５
だからｎ番目のときは、
（ｎ×ｎ）＋｛（ｎ−１）×（ｎ−１）｝＝おはじきの総数
だと思います。
◆福井県の中学校３年生 防人 さんからの解答。
５秒でできました！！
解答は、ｎ2＋（ｎ−１）2です！！
余裕だね！
◆愛知県の中学校３年生 suzuki さんからの解答。
２ｎ2−２ｎ＋１
同じ中学生が作った問題なので真剣に解きました。
結構簡単でしたよ。
◆鳥取県の中学校３年生 スライム さんからの解答。
ｎ×ｎ+(ｎ-1)×(ｎ-1)
◆岐阜県の中学校３年生 takahashi さんからの解答。
ｎ×ｎ＋(ｎ−１)×(ｎ−１)
◆愛知県 たなっこ さんからの解答。
An
=An-1+2*(n+n-1)-2
=An-1+4n-4
Bn-1=2n-4
An=An-2+Bn-1+Bn-2
| An=A1+ | n-1 k=1 |
Bk |
| An=1+ | n-1 k=1 |
4k |
An=1+2n(n-1)
◆大阪府の高校生 DARK RENNY さんからの解答。
数列｛An｝の階差数列を｛Bn｝とすると
n≧2のとき
| An=A1+ | n-1 k=1 |
Bk |
| An=1+ | n-1 k=1 |
4n |
| =1+4* | 1 2 |
(n-1)n |
| =2n2-2n+1 |
答え：2n2-2n+1
◆滋賀県の中学校１年生 西尾 恭史 さんからの解答。
ｎ×ｎ＋（ｎ−１）×（ｎ−１）
◆岐阜県の中学校３年生 なっち。 さんからの解答。
n2+(n-1)2
1をあてはめると
12+（1-1）2＝1+0＝1
2をあてはめると
22+（2-2）2＝4+1＝5
3をあてはめると
32+（3-1）2＝9+4＝13
4をあてはめると
42+（4-1）2＝16+9＝25
5をあてはめると（5でやっちゃった）
52+（5-1）2＝25+16＝41
100でもやっちゃった
1002+（100-1）2＝10000+9801＝19801
◆東京都 tokujq さんからの解答。
ドットのならびを斜めに見ると
１番目 １
２番目 １３１
１＋３＝４（２2） と １（１2）の和
３番目 １３５３１
１＋３＋５＝９（３2）と３＋１＝４（２2）
４番目 １３５７５３１
１＋３＋５＋７＝１６（４2）と５＋３＋１＝９（３2）
５番目 １３５７９７５３１
１＋３＋５＋７＋９＝２５（５2）と７＋５＋３＋１＋＝１６（４2）
となっています。
よってｎ番目は n2＋（ｎ−１）2です。
ｎ＝１でも成り立っています。
答え ｎ2＋（ｎ−１）2
ｎ番目までの奇数の和がｎ2になるのが不思議な感じて、
ｎ×ｎ＝｛（ｎ−１）＋１｝×｛（ｎ−１）＋１｝の計算を改めてしてみました。
ｎ×ｎ
＝（ｎ−１）×（ｎ−１）＋２×（ｎ−１）＋１
＝（ｎ−１）×（ｎ−１）＋２×ｎ−１
◆神奈川県の小学生 SYUYA BUNDO さんからの解答。
ｎ×ｎ＋（ｎ−１）×（ｎ−１）
◆福島県の中学校３年生 ハリーポッター さんからの解答。
１，５，１３，２５となっているので
階差数列ｂn＝４＋４（ｎ−１）だから
ｂn＝４ｎ
| １＋ | n-1 Σ k=1 | ４ｎ＝１＋４・ | （ｎ−１）ｎ ２ | ＝２ｎ2−２ｎ＋１ |
◆京都府 hide-心 さんからの解答。
例えば「4番目」で考える。
正方形を2つの部分に分けて三角形2つにする。
つまり(1+3+5+7)+(1+3+5)という計算になる。
「1+3+5+…+n=n2」より「n番目」のおはじきの総数は
n2+(n-1)2である。
◆愛知県の中学校３年生 久米 麻耶乃 さんからの解答。
１番目の時は、１。
２番目の時は、５。
３番目の時は、１３。
４番目の時は、２５。
となりますが、考え方を変えると・・・
１番目の時は、１×１＝１
２番目の時は、２×２＋１×１＝５
３番目の時は、３×３＋２×２＝１３
４番目の時は、４×４＋３×３＝２５
といった具合になります。
ｎを使って表すと、
ｎ2＋(ｎ−１)2となる。