◆青森県 takerunさんからの解答。
３人の力士をそれぞれ、Ａさん、Ｂさん、Ｃさんとして、
最初に、ＡさんとＢさんが勝負すると決める。
ＡさんとＢさんが勝負をしてＡさんが勝った時、(A>B)と書く。
・優勝するためには二連勝しなければならない。
・自分が優勝するためには、他の人が二連勝してはいけない。
この２つに注意する。
１）一勝負目にＡさんが勝って、Ａさんが優勝する場合：
・(A>B),(A>C)
・(A>B),(C>A),(B>C),(A>B),(A>C)
・(A>B),(C>A),(B>C),(A>B),(C>A),(B>C),(A>B),(A>C)
・(A>B),(C>A),(B>C),(A>B),(C>A),(B>C),(A>B),(C>A),(B>C),(A>B),(A>C)
：
・(A>B),(C>A),(B>C),(A>B),(C>A),(B>C),(A>B),(C>A),(B>C),…,(A>B),(A>C)
：
となる。
よって、この場合の確率＝(1/2)2+(1/2)5+(1/2)8+…+(1/2)(3N-1)+…
＝(1/4)/(1-1/8)
＝2/7
（∵初項1/4、公比(1/2)3の無限等比級数）
２）一勝負目にＡさんが負けて、Ａさんが優勝する場合：
・(B>A),(C>B),(A>C),(A>B)
・(B>A),(C>B),(A>C),(B>A),(C>B),(A>C),(A>B)
：
・(B>A),(C>B),(A>C),(B>A),(C>B),(A>C),(B>A),…,(A>C),(A>B)
：
よって、この場合の確率＝(1/2)4+(1/2)7+…+(1/2)(3N+1)+…
＝1/14
以上１）２）より、
Ａさんが優勝する確率は2/7＋1/14=5/14
Ｂさんが優勝する確率は、今の議論でＡとＢを入れ替えただけだから=5/14
３）Ｃさんが優勝する場合：
・(A>B),(C>A),(C>B)
・(A>B),(C>A),(B>C),(A>B),(C>A),(C>B)
・(A>B),(C>A),(B>C),(A>B),(C>A),(B>C),(A>B),(C>A),(C>B)
：
・(A>B),(C>A),(B>C),(A>B),(C>A),(B>C),(A>B),…,(C>A),(C>B)
：
よって、この場合の確率＝(1/2)3+(1/2)6+…+(1/2)(3N)+…
＝1/7
ＡとＢを入れ替えた場合もあるので、
Ｃさんが優勝する確率は1/7+1/7=2/7
故に、解答は
（１）最初に相撲を取った二人の方が、優勝するには有利である。
（２）Ａさんの優勝する確率＝5/14
Ｂさんの優勝する確率＝5/14
Ｃさんの優勝する確率＝2/7
（注）初項ａ、公比ｒ(＜1)の無限等比級数の和＝a/(1-r)を使った。
（既知？）
＜感想＞
【コメント】
いえいえ、たいへんわかりやすいです。
つまり待っているＣさんが1/14（0.0714...）だけ不利ということですね。
たしかにＡさんやＢさんはもし最初に負けても優勝する可能性はありますが、Ｃさんは最初負けると即座に優勝決定ですから不利なのも納得がいきますね。
◆海外の大学生 Hirasawa Yasutakaさんからの解答。
Consider possible "STATE" during the competition.
Denote a state "A just beats B" as (A>B).
Also denote a state "A becomes a champion" as (A).
We have nine possible states:
# State
--- ------
1 A>B
2 A>C
3 B>A
4 B>C
5 C>A
6 C>B
7 A
8 B
9 C
Consider "probability of entering state X from state Y directly (in one game/step)"
Denote the probability as P(Y|X)
P(A|A>B) = 0.5
P(C>A|A>B) = 0.5
P(A|A>C) = 0.5
P(B>A|A>C) = 0.5
P(B|B>A) = 0.5
P(C>B|B>A) = 0.5
P(B|B>C) = 0.5
P(A>B|B>C) = 0.5
P(C|C>A) = 0.5
P(B>C|C>A) = 0.5
P(C|C>B) = 0.5
P(A>C|C>B) = 0.5
P(Y|X) for other combinations of states are zero.
Now consider "probability of eventually reaching final state X (= A, B or C) starting from state Y (could be in many steps)"
Denote the probability as V(Y|X).
Notice the difference from P(Y|X).
Also notice that V(A|X) = 0 for All X = A, B, or C
Now, consider more carefully about V(A|A>B)
V(A|A>B) can be divided into two pieces:
First, go to state A directly in one step (A wins C).
This happen with probability 0.5
Second, go to state state C>A with prob.0.5.
Then It "eventually" goes to state A with prob. V(A|C>A)
Thus, we can write
V(A|A>B) = 0.5 + 0.5*V(A|C>A)
Similarly, we can express 5 other V(A|*) as
V(A|A>C) = 0.5 + 0.5*V(A|B>A)
V(A|B>A) = 0.5*V(A|C>B) + 0.5*V(A|B)
= 0.5*V(A|C>B)
V(A|B>C) = 0.5*V(A|A>B) + 0.5*V(A|B)
= 0.5*V(A|A>B)
V(A|C>A) = 0.5*V(A|B>C) + 0.5*V(A|C)
= 0.5*V(A|B>C)
V(A|C>B) = 0.5*V(A|A>C) + 0.5*V(A|C)
= 0.5*V(A|A>C)
(reader should verify these equations)
Summarizing these, we have 6 unknown V(A|*) and 6 (independent) linear equations of V(A|*).
Thus, we have an unique solution for V(A|*) and it is very easy to solve them.
(Good exercise for Chuugakusei)
Now let us consider the probability that A "eventually" win the champion.
After the first game between A and B, we will be in state A>B or B>A with prob. 0.5 each.
From the state A>B, A eventually becomes champion with prob V(A|A>B).
Similarly for state B>A.
Thus, total probability that A eventually becomes a champion is (denote this as P(A) )
P(A) = 0.5*V(A|A>B) + 0.5*V(A|B>A)
substitute solved values of V(A|*) from previous exercise, we get
P(A) = 0.3571
Similarly for P(B) and P(C). We can obtain,
P(B) = 0.3571
P(C) = 0.2857
Using this method, any winning probability between a pair of competitors can be assumed (like 0.4356 for A wins over B).
If you have a matrix inversion program, you can write a small program to calculate a result with any given probabilities assumption (such as historical winning ratio....)
Also you can extend it to n competitors situaltion (n>3).
I am studying stochastic model and I used the methodology here.
It is interesting how your students can solve this without knowing such a framework.
Thank you for the entertainment...
Regards,
Yasutaka Hirasawa
◆東京都 林さんからの解答。
一回目Aが勝った場合 （1/2の事象）
回数 1 2 3 4 5 6 --
この一番で決められる力士 - A C B A C --
ここまで試合が続いてる確率 1 1 1/2 1/4 1/8 1/16 --
よってAが優勝する確率
1/2 *(1 + 1/8 + 1/64 + .........) = 1/2 * 8/7 = 4/7
よってBが優勝する確率
1/2 *(1/4 + 1/32 + .........) = 1/2 * 2/7 = 1/7
よってCが優勝する確率
1/2 *(1/2 + 1/16 + 1/128 + .........) = 1/2 * 4/7/7 = 2/7
一回目Bが勝った場合 （1/2の事象）はABが逆になるだけなので、
よってAが優勝する確率
1/2 *(1/4 + 1/32 + .........) = 1/2 * 2/7 = 1/7
よってBが優勝する確率
1/2 *(1 + 1/8 + 1/64 + .........) = 1/2 * 8/7 = 4/7
よってCが優勝する確率
1/2 *(1/2 + 1/16 + 1/128 + .........) = 1/2 * 4/7/7 = 2/7
よって
Aが優勝する確率：1/2 * 1/7 + 1/2*4/7 = 5/14
Bが優勝する確率：1/2 * 4/7 + 1/2*1/7 = 5/14
Cが優勝する確率：1/2 * 2/7 + 1/2*2/7 = 4/14
【コメント】
すばらしい解答ありがとうございます。
しかし大相撲の優勝決定戦を見ている人の中でこの１／１４の差に気がついている人はどれくらいいるのでしょうか。
また実際に相撲を取っている力士は気がついているのでしょうか。
少し興味がわきますね。
◆東京都 ろっしぃ さんからの解答。
-- 数列をつかわずに回答 ---
一戦目が終わった時点で、ひとりは勝って土俵に残り、（次勝ったら優勝）ひとりは今土俵にあがったところ、ひとりは負けて土俵を見守っています。
３つの状態を、＜勝＞、＜待＞、＜負＞と名づけます。
今から＜勝＞と＜待＞の対戦が始まります。
その後の状況を考えてみると、優勝が決まるか、そうでなければ、３力士が、
この＜勝＞、＜待＞、＜負＞の立場を代わり合うことがわかります。
つまり、勝と待が対戦して、
＜勝＞が 勝てば ＜勝＞→優勝 で、優勝決定！
＜待＞が 勝てば
＜勝＞→＜負＞ ＜待＞→＜勝＞ ＜負＞→＜待＞ で、同じ事の繰り返しとなるわけです。
そこで、＜負＞の立場の優勝の可能性はいくらかを考えると、
二分の一の可能性（＜待＞が 勝てば） で、自分が＜待＞の立場になります。
二分の一の可能性（＜勝＞が 勝てば） で、他人の優勝決定。
つまりゼロ。
つまり、半分の確率で＜待＞の人の立場を得られるわけですから、
優勝の可能性は＜待＞の立場の半分です。
逆に言えば、＜待＞の立場は、＜負＞の立場の倍の優勝の可能性。
次に＜待＞の立場の優勝の可能性はいくらかを考えると、
二分の一の可能性（＜待＞が 勝てば）で自分が＜勝＞の立場になります。
二分の一の可能性（＜勝＞が 勝てば）、他人の優勝決定。
つまりゼロ。
つまり、半分の確率で＜勝＞の人の立場を得られるわけですから、
優勝の可能性は＜勝＞の立場の半分です。
逆に言えば、＜勝＞の立場は、＜待＞の立場の倍の優勝の可能性。
つまり、
＜負＞の立場の優勝の可能性を１とすると、
＜待＞の立場の優勝の可能性は２、
＜勝＞の立場の優勝の可能性は４、という比例関係です。
ここで、必ず３人のうち誰か一人だけが優勝するので、全部の立場の優勝の可能性を合計すれば
１００％＝１。
というわけで、
| ＜負＞の立場の優勝の可能性＝ | １ ７ |
、 |
| ＜待＞の立場の優勝の可能性＝ | ２ ７ |
、 |
| ＜勝＞の立場の優勝の可能性＝ | ４ ７ |
が答えです。 |
最初に待っていた人は、一戦目終了後には必ず＜待＞の立場になりますので、
| その時点での優勝の可能性 | ２ ７ |
が、当初の優勝の可能性に他なりません。 |
最初に取り組んだ二人は、＜勝＞＜負＞半分ですから、
| それぞれ | ５ １４ |
となります。 |
◆東京都 すっしー さんからの解答。
緒戦で対決する人をA,B、緒戦を観戦する人をCとする。
| 結論）A,Bの優勝する確率は | 5 14 | , Cの優勝する確率は | 4 14 |
となる |
（解答）
自分が１回負けた状態から対戦に臨んだとき、優勝する確率をPとする。
AとBが優勝するのは、緒戦から２連勝して優勝するか、一度負けてPの確率で優勝するかのいずれかである。
| 1 2 | ( | 1 2 |
+ | 1 2 |
* P ) + | 1 2 |
* P= | 1+3P 4 |
Cは必ず緒戦の勝者との対戦があり、ここで勝利をしなければ優勝はない。
そして勝利後は、２連勝して優勝するか、一度負けてPの確率で優勝するかのいずれかである。
| 1 2 | ( | 1 2 |
+ | 1 2 |
* P ) = | 1+P 4 |
| したがって、２* | 1+3P 4 |
+ | 1+P 4 | ＝ 1が成り立つ。 |
| これを解くと、P = | 1 7 |
| A, B の優勝する確率 = | 5 14 | , Cの優勝する確率= | 4 14 |
（別解）
緒戦で勝った者が優勝する確率をP
緒戦で負けた者が優勝する確率をＱ
緒戦を観戦した者が優勝する確率をＲとおく。
| ・P = | 1 2 |
+ | 1 2 |
*Q |
| ・R = | 1 2 |
( | 1 2 |
+ | 1 2 |
*Q) |
これを解けばよい。
◆青森県 takerunさんからの解答。
三人をA B CとしA Bが最初に相撲を行う二人とする。
勝利を図式化すると、最初にAが勝った場合
勝負 1 2 3 4 5 6 7,,, 1勝目 A C B A C B A...... 2勝目 A C B A C B ...... 確率 4 8 16 32.....(確率は逆数)となる。
| Aは a= | 1 4 |
＋ | 1 4*8 | ＋ | 1 4*82 | ＋.... |
| となり a= | 4 14 |
| Aの優勝確率は | 5 14 |
| Bも同様なので | 5 14 |
| よってCは | 4 14 |