◆問題１
条件（角点に置けるピンの色）を再掲します。
@ 辺ＡＢ上にある点には、赤か緑のいずれか
A 辺ＢＣ上にある点には、青か緑のいずれか
B 辺ＣＡ上にある点には、赤か青のいずれか
条件@、Bを満たすにはＡは赤いピンしかありません。
同様にＢ，Ｃに置けるピンの色も緑、青しかありません。
重心(ｘ)に赤いピンを置いた場合を考えてみます。
辺ＢＣの中点(ｙ)には条件Aにより、青か緑になりますが、青を置くと△ｘＢｙ、緑を置くと△ｘｙＣが
赤、青、緑のピンが頂点に並ぶ三角形になります。
同様にｘに青いピンを置くと辺ＡＢの中点とｘと（ＡまたはＢ）の３点で囲まれる三角形が赤、青、緑のピンが頂点に並ぶ三角形になります。
Ｘに緑を置くと辺ＣＡの中点とＸと（ＣまたはＡ）の３点で囲まれる三角形が赤、青、緑のピンが頂点に並ぶ三角形になります。
したがって、必ず赤、青、緑のピンが頂点に並ぶ三角形が存在することになります。
◆問題２
問題１と同様、点Ａ，Ｂ，Ｃのピンの色は赤、緑、青です。
重心(ｘ)にどの色を置いても条件は同じなので、赤を置いた場合で赤、青、緑のピンが頂点に並ぶ三角形ができないようにピンの色を置くことができるか考えます。
点ｚに置くピンの色
辺ＢＣ上の点なので、緑か青が置けます。
まず、青を置いた場合を考えます。(仮定１)
点ａに置くピンの色
赤を置くと点ｂに緑、青をいずれを置いても△ａＡｂか△ａｂｘが赤、青、緑のピンが頂点に並ぶ三角形になります。
（この条件の三角形を以降では単に「ＲＧＢ」と表記します。）
点ｂは辺ＢＣ上の点なので赤は置けません。
したがって、点ａは青か緑になります。
まず、緑を置いた場合で考えます。（仮定２−１）
点ｙに置くピンの色
青を置くと△ｘａｙ、赤を置くと△ｙａｚがＲＧＢになります。
したがって、点ｙは緑です。
【この問題に於ける定理】
点ｙに置くピンを決める説明に於いて、△ｘａｚはＲＧＢです。
この三角形を２分する線分(上記の例ではａ−ｙ)は同じ色になります。
以降ではこの性質を「定理」という言葉で表現します。
点ｃに置くピンの色
△ｘｚｃはＲＧＢであるから定理により、点ｃは緑。
点ｄに置くピンの色
△ｘｄＣはＲＧＢであるから定理により、点ｄは緑。
点ｅに置くピンの色
△ｘｅＣはＲＧＢであるから定理により、点ｅは緑。
点ｆに置くピンの色
辺ＣＡ上の点なので条件Bにより、赤か青。
しかし、赤を置くと△ｅｆＣがＲＧＢとなるので、点ｆは青。
点ｇに置くピンの色
点ｆと同じ理由で点ｇは青。
点ｈに置くピンの色
△ｇｘｅはＲＧＢなので定理により、点ｈは緑。
点ｉに置くピンの色
△ｉｘｇはＲＧＢなので定理により、点ｉは緑。
点ｊに置くピンの色
辺ＣＡ上の点なので条件Bにより、赤か青。
赤を置くと△Ａｉｊ、青を置くと△ｊｉｇがＲＧＢとなる。
したがって、仮定１および仮定２−１に基づくピンの配置では、必ず小さな三角形でＲＧＢができる。
仮定２−１を見直し、点ａに青のピンを置いた場合を考えます。(仮定２−２)
△ｘＢａはＲＧＢなので定理により、点ｋは青。
△ｘｉＢ 〃 点ｌは青。
点ｎは辺ＡＢ上の点なので条件@により、赤か緑。
赤を置くと△ｌｎＢがＲＧＢとなるので点ｎは緑。
点ｎと同じ理由で点ｏも緑。
△ｏｉｘはＲＧＢなので定理により、点ｍは青。
△ｏｐｘ 〃 点ｐは青。
点ｑは辺ＡＢ上の点なので条件@により、赤か緑。
赤を置くと△ｑｏｐ、緑を置くと△ＡｑｐがＲＧＢとなる。
したがって、仮定１(および仮定２−１／２)に基づく、ピンの配置では必ず、小さな三角形でＲＧＢができる。
仮定１を見直し、点ｚに緑を置いた場合は上記の
仮定２−１の説明で点ｃに青を置いてから時計回りに、
仮定２−２の説明で点ｃに緑 〃 反時計回りに
ピンを置いていくことになり、結局小さな三角形のＲＧＢが必ずできることになります。
以上で証明完了。
【感想】
重心の色をとりあえず決めるという方法で思ったより、簡単に解ったのですが、説明文を解り易く書くことと、参考の図を書くのに手間取りました。
一応正解だと思うのですが、問題２はもっと簡単な証明がありそうな気がします。
【コメント】
すばらしい証明ですね。(^_^
この定理の証明はこないのではないかと思っていたのですが、ついに陥落しましたか。
実はこの定理は正４面体でも成り立ちます。
考えてみてください。
更に、なんとｎ次元の正（ｎ＋１）面体でも成り立つのです。