◆兵庫県の大学生 ＲＥＤ−ＳＵＮさんからの解答。
１回目から１０回目までを紙に書いてみると，ロッカ−の番数と生徒の番号の一致するところ，即ち，Ｎ番目のロッカ−とＮ番目の生徒とが一致するところより前はロッカ−の状態は変化しない事がわかる。
また，ロッカ−の状態はＮ番目の生徒番号を約数に持つものだけ変化することより，ロッカ−の番号が持つ約数の数だけ状態が変化する事がわかる。
しかし，１回目についてはすべてがあいている状態なので，１回目を初期状態と考えると 約数の個数−１が扉の状態が変わる回数である，よってその数が偶数個であれば開いているし，奇数個であれば閉じているといえる。
答え
ロッカ−の番号の約数を偶数個 ＜１を除く＞ 持つものと１番目が開いていて，奇数個を持つものは閉まっている。
感想
はっきり言って全く自信がありません。
頭を使わないと，馬鹿になっていきます。
【コメント】
＞頭を使わないと，馬鹿になっていきます。
いえいえ、とんでもありません。
とてもわかりやすく説明されていて助かります。
数学の部屋で頭をリフレッシュしてくださいね。
解答の通りで正しいと思います。
ただし、これは８０％の正解です。
問題は約数を奇数個持つ数がいったいどんな数かです。
これがわかれば完全な正解になると思います。
◆北海道の大学生 八平(HAPPEY)さんからの解答。
約数が奇数個のもの・・・と考えていくところからはじめます。
例えば１２という数、１×１２，２×６，３×４ というように
「２つの約数の積の形で書く事ができます」。
ここから、約数っていうものが「必ず２つで一組になっていること」がわかります。
つまり、基本的に「約数は偶数個」のはずなわけです。
ところが、例えば１６、この数の場合、１×１６，２×８，４×４
同じように２つの約数の積で書けるわけですが、
４×４という、同じ数の積が出てきているので、約数の数は１個少ない５つ。
同様に約数の積に分解して考えていくと、
「ある数の二乗の数に限って、約数は奇数個」になることがわかります。
というわけで、二乗の数・・・平方数という事でいいでしょうか。
実は・・・大学の授業で、扱ったんですよ、これ。(^^ゞ
【コメント】
はい、完全な解答です。
２０個ぐらいの数字を紙に書いて実験してみると開いているロッカーの番号が
１，４，９，１６・・・
と平方数になっていることがすぐわかると思います。
約数の個数が奇数であることと、その数が平方数であることは同値（同じ意味）なのですね。
でも、最初から「それを証明しなさい」という問題にしたら、だれも解く気にならないでしょうね。
しかし、大学の授業で扱っているとは！。驚きました。