◆広島県 清川 育男さんからの解答。
偶数で勝つ期待値 （２＋４）×０．５＝３（万円）
奇数で勝つ期待値 （１＋３）×０．５＝２（万円）
したがって、偶数で勝つ期待値は奇数で勝つ期待値の１．５倍。
しかし、この事実は相手も知っていると考えると、入れる方も予想する方も五分と五分のゲームとなります。
そうなると少なくとも負けない作戦を考えるしかありません。
そこで正４面体のサイコロ を考えます。
| 入れる方 | 予想する方 | ||
| １のとき | １万円 | １，３のとき奇数 | |
| ２のとき | ２万円 | ||
| ３のとき | ３万円 | ２，４のとき偶数 | |
| ４のとき | ４万円 | ||
正しい正４面体がなければ、コンピュータを使いＲＮＤ命令で作る事ができます。
これで最初に計算したことが実行できます。
１／４＝０．２５
３／４＝０．７５ ０．２５＋０．７５＝１
２／４＝０．５
４／４＝１ ０．５＋１＝１．５
【コメント】
そんな簡単に勝てる方法はないということですか。
テストで生徒が鉛筆を転がすのと同じですね。(^_^;
もし相手が期待値の違いを知らなかったら、有利にできるでしょうね。
他によい作戦を考えた方がおいでましたら、またお知らせください。
◆神奈川県 飯田 孝久さんからの解答。
１）作戦の表現
相手の癖を読んで戦略を考えることはないとします。
この場合、２人の作戦は確率分布で表現できます。
Ａさんの作戦は、１万円−４万円を入れる確率（ａ，ｂ，ｃ，ｄで表す）が作戦です。
Ｂさんの作戦は、奇数と言う確率（ｐとします）と偶数と言う確率（１−ｐです）が作戦です。
２）Ａさんの期待収入の計算
| 収入（万） | １ | ２ | ３ | ４ |
| 確率 | ａ(１−ｐ) | ｂｐ | ｃ(１−ｐ) | ｄｐ |
| 損失（万） | １ | ２ | ３ | ４ |
| 確率 | ａｐ | ｂ(１−ｐ) | ｃｐ | ｄ(１−ｐ) |
これよりＡさんの期待収入は
＝ａ(１-２ｐ)-２ｂ(１-２ｐ)＋３ｃ(１-２ｐ)-４ｄ(１-２ｐ)
＝(ａ-２ｂ＋３ｃ-４ｄ)(１-２ｐ)
Ｘ＝ａ−２ｂ＋３ｃ−４ｄ
Ｙ＝１−２ｐ
とおくと、Ｙの正負に応じてＸを変えれば期待収入をプラスにできます。
Ｙ＝０のときはどのようにしても期待収入をプラスにはできません。
逆に、Ｘが０でないときは、Ｂが作戦を工夫するとＡの期待収入はマイナスになります。
これを避けるには、
Ａさんは、Ｘ＝０となるような作戦を取るのがよく
Ｂさんは、Ｙ＝０となるような作戦を取るのがよい
ことが判ります。この時の期待収入はどちらも０になります。（おもしろくない？）
３）作戦の例
Ｂさんの最適な作戦はもちろんｐ＝０．５です。
Ａさんの最適な作戦は一意には定まりません。
ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＝１
ａ−２ｂ＋３ｃ−４ｄ＝０
０≦ａ，ｂ，ｃ，ｄ≦１
の解になっていればいいです。
１つの例は、ａ＝０．４ ，ｂ＝０．３，ｃ＝０．２，ｄ＝０．１です。
４）このような解のことを、ゲーム理論ではミニマックス解と呼びます。
付録
じゃんけんで、勝った場合にもらえる金額が手によって違う場合も、この方法で最適な作戦を求めることができます。
【コメント】
ミニマックス解といえば、将棋などのゲームのプログラムによく用いられていますね。
もし、詳しい方がおいででしたら、コメントをお願いいたします。