◆HATさんからの解答。
まず、全ての誕生日の組合せを求める。
出席番号０１の生徒の誕生日３６５通り
出席番号０２の生徒の誕生日３６５通り
出席番号０３の生徒の誕生日３６５通り
・
・
・
出席番号４０の生徒の誕生日３６５通り
これらを掛けて、
全ての誕生日の組合せ ３６５40 通り ... a)
次に、誕生日が「同じでない」組合せを求める。
出席番号０１の生徒の誕生日３６５通り
出席番号０２の生徒が０１と同じでないのは
（３６５−１）通り
出席番号０３の生徒が０１や０２と同じでないのは
（３６５−２）通り
・
・
・
出席番号４０の生徒が他と同じでないのは
（３６５−３９）通り
これらを掛け合わせて、
誕生日が「同じでない」組合せは
| ３６５！ (３６５−４０)！ | 通り ... b) |
a), b) より、 誕生日が「同じでない」確率は
| ３６５！ ３６５40×(３６５−４０)！ |
従って、誕生日が「少なくとも同じ」確率
| １− | ３６５！ ３６５40×(３６５−４０)！ |
| ＝１− | ３．４×１０101 ３．１×１０102 |
| ＝０．８９ |
(エ)ですね。
丸め誤差はたぶん影響していないと思いますが... そこまでは検証していません。
【コメント】
この結果は、結構意外に感じた人も多かったのではないでしょうか。
実はクラス担任をしていると、ほとんどのクラスに誕生日の同じ生徒がいることを経験します。
確率が約９０％。
この結果を見ると納得できますね。
◆広島県 清川 育男さんからの解答。
ペアになる組み合わせは、
| ３９×４０ ２ | ＝７８０ |
| １ ３６５ |
| １− | １ ３６５ | ＝ | ３６４ ３６５ |
| ( | ３６４ ３６５ | ) | 780 |
したがって少なくとも１組でも誕生日が同じになる確率は、
| １−( | ３６４ ３６５ | ) | 780 | です。 |
【コメント】
これは非常にすっきりした解答ですね。
Windowsの電卓で計算したら ０．８８２・・・でした。
余談ですが、このページのソフトで実験したら、３０回連続で「同じ誕生日の人」がいたことがありました。
９０％近いというのが実感できますね。
もっとすごい記録が出た人がいたら教えてくださいね。
【東京都 ヨーゼフさんからのコメント】
清川氏の解答は、すっきりしていますが、間違いではないかと思います。
例えば３人のクラスの場合、氏によると、３人とも異なった誕生日になる確率は
| （ | ３６４ ３６５ | ） | 3 | ・・（ａ） |
ところが、もしこの３人をＡ、Ｂ、Ｃとすると、
| ３６４ ３６５ | × | ３６４ ３６５ | × | ３６３ ３６４ | × | ・・（ｂ） |
（１）Ａ、Ｂの誕生日が異なる確率
| ３６４ ３６５ |
（２）Ｂ、Ｃの誕生日が異なる確率
| ３６４ ３６５ |
（３）Ａ、ＢおよびＢ、Ｃの誕生日が異なるという条件下で、Ｃ、Ａの誕生日が異なる確率
| ３６３ ３６４ |
したがって、３人とも異なった誕生日になる確率は
| ３６４ ３６５ | × | ３６４ ３６５ | × | ３６３ ３６４ | × | ・・（ｂ） |
数値計算して見ると、（ａ）、（ｂ）は微妙に異なります。
クラスの人数が増えるとその差は次第に拡大しますが、３５人でも１％位です。
◆大阪府の大学生 ふるふる さんからの解答。
４０人のクラスで求める確率は、
１−（全員が違う誕生日の確率）
（全員が違う誕生日の確率）
| ＝ | ３６５ ３６５ | × | ３６４ ３６５ | × | ３６３ ３６５ | ・・・ |
| ＝ | ３６５！ ３６５40×(３６５−４０)！ |
よって求める確率
| ＝１− | ３６５！ ３６５40×(３６５−４０)！ |
◆大阪府 ドラキュラ さんからの解答。
答え (エ)
1 - 364！ ÷ (364 - 40 + 1)！ ÷36539
◆東京都 ヨーゼフさんからの解答。
やや腕力になりますが、誕生日が一致する確率の側から計算してみました。
| ２人のクラスでは、一致する確率は、 | １ ３６５ |
| ２人の場合＋ | ３６４ ３６５ |
× | ２ ３６５ |
ｎ人のクラスでは、
| n-1人の場合＋ | 364 365 | × | 363 365 |
×・・× | 367-n 365 |
× | n-1 365 |
数値計算は、最後の部分だけ補正して積算していけばよいので、見た目ほど大変ではありません。
４０人のクラスでは、０．８９１になりました。
◆埼玉県 knog さんからの解答。
まず、クラスの中で一人も同じ誕生日の人がいない確率を考えてみます。
Aさんの誕生日が任意の1日だとすると、
| BさんがAさんと同じ誕生日でない確率は | 364 365 |
CさんがAさんともBさんとも同じ誕生日でない確率は、
| 363 365 | 、･･･となります。 |
したがって、40人全員が違う誕生日である確率は、
| 365 365 | × | 364 365 |
× | 363 365 |
×・・× | 326 365 |
(40人目)＝約11％ |
逆をいえば約89％の確率で、誰かが同じ誕生日であることになります。
意外に高い確率ですね。
◆東京都 むらやま さんからの解答。
40人のうち誕生日が同じ人が１組以上いる確率は，「一組もいない」確率の裏返しです．
一組もいない確率は
| 365 365 | × | 364 365 | × | 363 365 |
×・・× | 326 365 |
となり |
| 365P40 36540 | で計算できます． |
◆東京都 葛衣 奥人 さんからの解答。
まず、４０人の誕生日の組み合わせは
３６５40通り。・・・（１）
で、「全員誕生日が異なる組み合わせ」は
365Ｐ40 通り。・・・（２）
（２）÷（１）を Excel を使って計算してみましたが、約１１％になります。
残る約８９％が、「誕生日が同じ人がいる確率」になるかと思います。
結構いるんですね。
同じクラスではありませんが、親戚で「干支も誕生日も同じ人」がいますよ。
ちょうど４８離れています。
◆宮城県 アンパンマン さんからの解答。
【追加問題】
P(同じ誕生日３人以上いる) =1-P(同じ誕生日の人がいない)−P(同じ誕生日の二人、1組いる)-P(同じ誕生日の二人、2組いる)-P(同じ誕生日の二人、3組いる)-...-P(同じ誕生日の二人、[m/2]組いる)m人の生徒がいるとします。
P(同じ誕生日の人がいない)
=P(同じ誕生日の二人、0組いる)
| = | 365Pm 365m |
P(同じ誕生日の二人、i組いる（同じ誕生日の３人以上はない）)
| = | 365Pm-i | m!
(m-2i)!(2!)i i! | ／365m |
P(同じ誕生日３人以上いる)
| =1- | [m/2] Σ i=0 |
365Pm-i | m!
(m-2i)!(2!)i i! | ／365m |
m＝40の場合、P(同じ誕生日３人以上いる)＝0.066889
つまりだいたい6.69%です。
◆福岡県の中学校３年生 ヒロ さんからの解答。
単刀直入に言うと答えは（エ）となります。
まず４０人とも誕生日が違っている確率を計算します。
たとえば出席番号順にでも考えていって、最初の人はどの日が誕生日でもよい、
二番目の人は〈３６５−１）通りある、
三番目の人は（３６５−２）通りある・・
そして四十番目の人は（３６５−３９）通りあると下のように計算します。
| ３６４ ３６５ | × | ３６３ ３６５ |
×・・× | ３２６ ３６５ |
≒０.１０９ |
◆４０回以上連続不一致の結果を送っていただきました。
◆匿名 さんからの解答。
40人のクラスで3人以上が同じ誕生日の確率は、
1-{(全員バラバラの確率)+(2人だけ同じ確率)}
| 全員バラバラの確率＝ | 365P40 36540 |
| 2人だけ同じ確率＝ | 40C2×365P39 36540 |
| よって、3人以上が同じ確率＝1-{ | 365P40 36540 |
+ | 40C2×365P39 36540 |
} |