◆広島県 清川 育男さんからの解答。
半径５ｃｍの半円の中心をＤ、半径の３ｃｍ半円の中心をＢ、半径２ｃｍの半円の中心をＣ、求める円の中心をＱ、求める円の半径をχｃｍとする。
題意により、
ＱＢ＝χ＋３。ＱＤ＝５−χ。ＢＤ＝２。
△ＱＢＤの面積は、ヘロンの公式により、
ＱＣ＝χ＋２。ＱＤ＝５−χ。ＤＣ＝３。
△ＱＤＣの面積は、ヘロンの公式により、
△ＱＢＤの面積と△ＱＤＣの面積の比は、２：３。したがって、
整理すると、
５×χ×（１９×χ−３０）＝０
χは０ではないので、χ＝３０／１９。
答え ３０／１９ｃｍ。
以上です。スマートな解法がわかりません。
【コメント】
いえいえ、十分スマートだと思います。
ヘロンの公式は３辺ａ，ｂ，ｃの三角形の面積は、
ｓ＝１／２×（ａ＋ｂ＋ｃ）とするとき、
で求められるという公式です。
これを使えばあざやかに解決できますね。
ヘロンの公式を使わないでできた方がおいでましたら、またメールをくださいね。
◆岐阜県の中学校３年生 もっち さんからの解答。
別解です。
学校で三平方の定理を習ったので，それをつかいました。
まず，半径５の半円の中心をｏ，
半径３の半円の中心をａ，
半径２の半円の中心をｂ，
求める円の半径をｒ，中心をｃ とする。
ｃよりａｂに垂線を降ろし、その足をｈとする。
ｂｈ＝χとすると，
ａｃ＝３＋ｒ
ｂｃ＝２＋ｒ
ａｂ＝５
ｃｏ＝５−ｒ なので，
△ｃａｂにおいて，
ｃａ2−ａｈ2＝ｃｂ2−ｂｈ2
（３＋ｒ）2−（５−χ）2＝（２＋ｒ）2−χ2
整理して，χ＝１０−ｒ／５
△ｃｏｂにおいて，
ｃｏ2−ｏｈ2＝ｃｂ2−ｂｈ2
（５−ｒ）2−（３−χ）2＝（２＋ｒ）2−2
整理して，χ＝７ｒ−６／３
代入して，１０−ｒ／５＝７ｒ−６／３
ｒ＝３０／１９(cm)
つらかったです。計算は単純だったけど，計算ミスがたいへんでした。
でも，とても楽しかったです。
【コメント】
これはよく見れば、教科書にも載っているような有名な方法ですね。
でもそれに気がついたところがすばらしいです。
もっとすばらしいところは『３つの半円Part2』の問題にもこの方法が使えそうなことです。
ヘロンの公式は使わなくともよかったのですね。