◆宮城県 アンパンマン さんからの解答。
そういう条件を満たすようなｎ角形は円に内接するｎ角形です。
円の半径＝(1/2)sec(θ/2)
面積(S) ＝(n-1)*(1/2)*1*(1/2)sec(θ/2)*sin(θ/2)+(1/2)*[(1/2)sec(θ/2)]2*sin(360-(180-θ)(n-1)) ＝((n-1)/4)tan(θ/2)+(1/8)sec2(θ/2)sin(360-(180-θ)(n-1)) ＝((n-1)/4)tan(θ/2)-(1/8)sec2(θ/2)sin((n-1)θ-180(n-2)) dS/dθ＝((n-1)/8)sec2(θ/2)-(1/8)sec2(θ/2)tan(θ/2)sin((n-1)θ-180(n-2))-((n-1)/8)sec2(θ/2)cos((n-1)θ-180(n-2))(n-1)θ-180(n-2)＝α とおくと
dS/dθ ＝(1/8)sec2(θ/2)[(n-1)(1-cos(α))-tan(θ/2)sin(α)] ＝(1/4)sec2(θ/2)sin(α/2)[(n-1)sin(α/2)-tan(θ/2)cos(α/2)] ＝(1/8)sec2(θ/2)sin(α)[(n-1)tan(α/2)-tan(θ/2)]dS/dθ=0 → α=0
θ=180(n-2)/(n-1) ; n≧3
◆神奈川県 ＠ＪＪＪＪＪＪ さんからの解答。
ｎ角形A(1)，A(2),A(n-1),A(n)は凸多角形だから円Ｏ(Ｏは円の中心)に内接します。
また(n-1)個の三角形、
A(1)ＯA(2),A(2)ＯA(3),・・・A(n-1)ＯA(n)はすべて合同で、
その面積Ｓ1は、
Ｓ1＝(1／2)sin(θ／2)／cos(θ／2)です。
また、n角形の内角の和は(n-2)πだから、
∠A(2)A(1)A(n)＝∠A(1)A(n)A(n-1)＝((n-2)π-(n-2)θ)／2
従って
∠ＯA(1)A(n)
＝∠ＯA(n)A(1)
＝((n-2)π-(n-2)θ)／2−θ／2
＝((n-2)π-(n-1)θ)／2、です。
従って三角形A(1)ＯA(n)の面積Ｓ2は、
| Ｓ2＝ |
1 ― 2 |
sin(((n-2)π-(n-1)θ)／2) cos(((n-2)π-(n-1)θ)／2) |
従ってn角形の面積Ｓは、
Ｓ(θ) ＝(n-1)Ｓ1＋Ｓ2 ＝((n-1)／2)sin(θ／2)／cos(θ／2)＋(1／2)sin(((n-2)π-(n-1)θ)／2)／cos(((n-2)π-(n-1)θ)／2))です。
Ｓ(θ)をθで微分すると、
Ｓ’(θ)＝((n-1)／2)((1／cos2(θ／2))-(1／cos2((n-2)π-(n-1)θ)／2)))、となり、
cos2(θ／2)＝cos2(((n-2)π-(n-1)θ)／2)、
すなわち、
cos(θ／2)＝cos((n-2)π-(n-1)θ)、
すなわち、θ／2＝((n-2)π-(n-1)θ)／2、
従って、θ＝(n-2)π／n のときn角形の面積は最大になります。
◆神奈川県 ＠ＪＪＪＪＪＪ さんからのコメント。
単純にＳ’（θ）＝０、の条件のみでは極値にしかならないですね。
アンパンマン さんからの解答のほうが正解だと思います。
◆東京都 ぱずきち さんからの解答。
Ａ1Ａnを軸とするｎ角形の鏡像をとり、もとのｎ角形と結合すると、
すべての辺の長さが１の（２ｎ−２）角形ができ、この面積を最大とする問題に帰着される。
（ここでは証明しないが）
その答えは正（２ｎ−２）角形なので、
| θ＝ |
π（２ｎ−２−２） ２ｎ−２ | ＝ |
π（ｎ−２） ｎ−１ |