◆山梨県 Footmark さんからの解答
【問題１】
１０で割って２や８が余る数は明らかに偶数である。
するとｎのｎ乗が偶数ゆえ、ｎは偶数の自然数でなければならない。
ｎが偶数の自然数なら、末尾の数字は０か２か４か６か８の筈である。
【問題２】
９で割って３が余る数は明らかに３の倍数である。
するとｎのｎ乗が３の倍数ゆえ、ｎは３の倍数である自然数でなければならない。
ところが、ｎが３の倍数である自然数なら、ｎのｎ乗は必ず９の倍数である。
よって、条件を満たすｎは存在しない。
◆東京都 かえる さんからの解答
【問題１】
ｍｏｄ１０とする
（１）ｎが奇数のとき、明らかにｎnも奇数となる。
（２−１）
ｎ≡０のとき、ｎn≡０n＝０
（２−２）
ｎ≡２のとき、ｎ＝２＋１０ｋ（ｋは非負整数）と置く
ｎn≡２2+10k
＝２2・（２10）k
＝４・１０２４k
≡４・４k
よって、１０で割った余りは４または６
（２−３）
ｎ≡４のとき、ｎn≡４n
よって、１０で割った余りは４または６
（２−４）
ｎ≡６のとき、ｎn≡６n≡６
（２−５）
ｎ≡８のとき、ｎ＝８＋１０ｋ（ｋは非負整数）と置く
ｎn≡８8+10k
＝８8・（８10）k
≡（−２）8・（（−２）10）k
＝２５６・１０２４k
≡６・４k
よって、１０で割った余りは４または６
以上より、１０で割ると、余りが２または８になるnはない。
【証明了】
【問題２】
ｍｏｄ９とする
（１）ｎ≡０のとき、ｎn≡０n＝０
（２）ｎ≡１のとき、ｎn≡１n＝１
（３）ｎ≡２のとき、ｎ＝２＋９ｋ（ｋは非負整数）と置く
ｎn≡２2+9k
＝２2・（２9）k
＝４・５１２k
≡４・（−１）k
よって、９で割った余りは、
４，５，４，５，４，５・・・
（４）ｎ≡３のとき、ｎ＝３＋９ｋ（ｋは非負整数）と置く
ｎn≡３3+9k
＝３3・（３9）k
＝２７・（３9）k
≡０・（３9）k
＝０
（５）ｎ≡４のとき、ｎ＝４＋９ｋ（ｋは非負整数）と置く
ｎn≡４4+9k
＝４4・（４9）k
＝２５６・（５１２・５１２）k
≡４・（（−１）・（−１））k
＝４
（６）ｎ≡５のとき、ｎ＝５＋９ｋ（ｋは非負整数）と置く
ｎn≡５5+9k
＝５5・（５9）k
＝３１２５・（３１２５・６２５）k
≡２・（２・４）k
≡２・（−１）k
よって、９で割った余りは、
２，７，２，７，２，７・・・
（７）ｎ≡６のとき、ｎ＝６＋９ｋ（ｋは非負整数）と置く
ｎn≡６6+9k
＝６6・（６9）k
＝２１６2・（６9）k
≡０2・（６9）k
＝０
（８）ｎ≡７のとき、ｎ＝７＋９ｋ（ｋは非負整数）と置く
ｎn≡７7+9k
＝７7・（７9）k
≡（−２）7・（（−２）9）k
＝（−１２８）・（−５１２）k
≡７・１k
＝７
（９）ｎ≡８のとき、ｎ＝８＋９ｋ（ｋは非負整数）と置く
ｎn≡８8+9k≡（−１）8+9k
よって、９で割った余りは、
１，８，１，８，１，８・・・
以上より、９で割ると、余りが３になるnはない。
【証明了】
また、余りの周期は１８で、
１，４，０，４，２，０，７，１，０，１，５，０，４，７，０，７，８，０
を繰り返す。・・・【答】
◆滋賀県 phys さんからの解答
【問題１】
題意⇔命題｛∃n∈N｜nn≡2 or 8(mod10)｝の真偽
このｎは偶数である必要がある。
（∵ｎを奇数（∃k∈N｜n=2k+1）とすると、
nn=(2k+1)2k+1=2A+1（∃A∈N）となり奇数）
よって、（∃k∈N｜n=2k）と置くと、
nn≡2 or 8(mod10)
⇔(2k)2k≡2 or 8(mod10)
⇔{(2k)k}2≡2 or 8(mod10)
ここで、（∃α∈N｜α=(2k)k）と置くと、結局
題意⇔命題｛∃α∈N｜α2≡2 or 8(mod10)｝の真偽である。
この命題は、∀α∈Ｎを見たとしても偽である。
（∵二乗して、末尾が2 or 8
つまりα2≡2 or 8(mod10)となる∀α∈Ｎは存在しない。
このことは０〜９までの数字をそれぞれ二乗して、末尾の数を確かめればよい。）
証明了