◆千葉県 Lily of the valleyさんからの解答。
【問題１】
えっと、一人でも多かったら、組合せがあるので、
まずは、３Ｘ＋１０Ｙ＝１ の整数解を求めます。
で、 Ｘ＝−３，Ｙ＝１
ここで、まず生徒数が ３ｎ のときは、大丈夫なので、３ｎ＋１ のときをかんがえます。
このとき、 ３(ｎ−３)＋１０＝３ｎ＋１
また、 ３(ｎ−６)＋２０＝３ｎ＋２
よって、ｎ≧６ ならば、大丈夫。
ここで、１７ は、３と１０であらわせないので、
答は、１７人！
【感想】
一般化も、したいけど、明日テストだぁ。
こりゃ、一般化は明後日だわ。
解かれないことを祈るのみ。( 無理かな？)
【コメント】
みごと正解です。
しかし一般の場合は先に解かれてしまいました。
やはり、テストを捨てて、数学の部屋の問題を解くべきだった・・・とは私はとてもいえません。(^_^;
◆静岡県 ヨッシーさんからの解答。
【問題２】からいきます。
ａ＞ｂとし、ａ×（ｂ−１）を考えます。
ａ，ｂは互いに素なので、
ａ，ａ×２，ａ×３・・・ａ×(ｂ−１)のｂ−１個の数の中に、
ｂの剰余 １，２，３・・・(ｂ−１)が１つずつ含まれます。
例えば、ａ×ｎ(１≦ｎ≦ｂ−１)をｂで割った余りが１のものが、必ず１つ存在し、このときの商をｍとすると、
ａ×（ｂ−１）からａをｎ個引き、ｂをｍ個加えた
ａ×（ｂ−１−ｎ）＋ｂ×ｍ は、ａ×（ｂ−１）より１小さい数です。
同様にして、ａ×(ｂ−１)よりｂ−１小さい数、
つまり(ａ−１)×(ｂ−１)まで、１ずつ小さい数を作ることが出来ます。
以上から、(ａ−１)×(ｂ−１)〜ａ×(ｂ−１)のｂ個の連続した整数を作ることが出来ます。
あとは、これらにｂを加えていけば、ａ×(ｂ−１)＋１以上の連続した整数も無限に作れます。
以上より、クラスの人数は
(ａ−１)×(ｂ−１)−１＝ａｂ−ａ−ｂ（人）
もし、ａｂ−ａ−ｂ＝ｍａ＋ｎｂ となるような負でない整数ｍ，ｎがあるとすれば
ａ(ｂ−１−ｍ)＝(ｎ＋１)ｂ となります。
ｂ−１−ｍ は ｂの倍数たり得ないので、ａとｂが互いに素であることに矛盾します。
【問題１】
ａ＝１０，ｂ＝３とすると、人数は１７人
【コメント】
みごと正解です。
【問題１】は、慶應義塾中等部の入試問題の数値を変えたものです。
具体的な数値が与えられているし、理由は問われないとはいえ、これを解ける小学生はすごいですねぇ。
ついでに言うと、この定理（問題２）はイギリスの数学者シルベスター（Sylvester）が示した、整数論ではかなり有名な定理です。
◆群馬県の中学校２年生 藤咲 洋輔 さんからの解答。
【問題１】
１７人。
この人数以上の場合は、
◆茨城県 小川 康幸 さんからの解答。
a*b−a−b人です。
【１．】
a*b−a−b＋1以上の整数Kは必ず、
K＝m*a+n*b（mとnは0以上の整数）と書ける。
【証明】
K，K−a，K−2*a，･･･，K−(b-1)*aのなかに、bで割り切れるものが存在しないと仮定する。
K，K−a，K−2*a，･･･，K−(b-1)*aをbで割った余りは、
1からb-1までの、b-1通りである。
よって、b個の整数のK，K−a，K−2*a，･･･，K−(b-1)*aの中に、bで割った余りが同じ２つの数が必ず存在する。
これを、K−i*a，K−j*aとする。
（ただし、iとjは0≦i＜j≦(b-1)となる整数です）
よって、(K−i*a)−(K−j*a)=(j-i)*aは、bで割り切れる。
また、aとbは互いに素だから、j-iはbで割り切れることになるが，
0＜j-i＜bだから、これは不合理
K，K−a，K−2*a，･･･，K−(b-1)*aの中に、bで割り切れる数が、必ず存在する。
これを、K−l*aとする。
(ただし、lは0以上でb-1以下の整数)
K−l*a=h*bと書ける。（ただし、hは整数）
h*b=K−l*a≧K−(b−1)*a≧ab−a−b＋1−ab＋a≧1−a＞−a
よって、h＞−1となるから、hは0以上の整数。
よって、KはK=l*a＋h*b（lとhは0以上の整数）と書ける。
証明終
【２．】
a*b−a−b＝m*a＋n*bと書ける、0以上の整数mとnは存在しない。
【証明】
もし存在すると仮定すると、
a*b＝(m+1)*a＋(n+1)*bと書ける。
この式を変形して、a*(b-m-1)=(n+1)*b
aとbは互いに素だから、n+1はbで割り切れる。
同様にして、m+1はaで割り切れる。
n+1=b*u，m+1=a*v（ただし、uとvは自然数）と書ける。
a*b＝(m+1)*a＋(n+1)*b＝a*b*(u+v)
よって、u+v=1となる。
ところが、uとvは1以上だから、u+vは2以上になって不合理。
証明終
１．と２．より生徒の人数は、a*b−a−b人です。
◆東京都 鳳 奥人 さんからの解答。
【問題１】
３冊組がｘ組、１０冊組がｙ組、生徒の数をｓとすると
（当然ｘ、ｙ、ｚは整数で、ｘ≧０、ｙ≧０、ｓ≧１）
ｓ＝3x＋10y
| これを変形して ｙ＝ | s−3x 10 |
・・・（１） |
ｙが整数になるｓとｘの値の組み合わせを考えていくと、
ｎが０以上の整数とした場合、１つのｎについて
ｓ＝3n → ｘ＝n-10k（ｋは０以上の任意の整数）のとき成立
ｓ＝3n+1 → ｘ＝n-3-10kのとき成立
ｓ＝3n+2 → ｘ＝n-6-10kのとき成立
そうすると、１≦ｓ≦８（つまり０≦ｎ≦２）のときは
ｓ＝3nのときしか成立しない。
また、９≦ｓ≦17（つまり３≦ｎ≦５）のときは、
ｓ＝3nまたは3n+1のときしか成立しない。
（いずれも、その他の場合はｘをマイナスにしないといけなくなるので）
ｓ≧18（つまりｎ≧６）のときには、すべてのｓについて上の３式すべてが成立しうる。
というわけで、現在の人数は「17人」。
あと１人でもふえて18人以上になれば、ぴったりの買い方が存在します。
ちなみに、今回もExcelの助けを借り、まず「17人」という人数を先に求め、上に書いた規則性は後からExcelの表を眺めながら考えました。
【問題２】
（１）の式をこの問題にあわせて書き換えてみますと
| ｙ＝ | s-ax b |
となります。 |
後は上と同じように考えてみると、１つのｎについて
ｓ＝an → ｘ＝n-bk のとき成立
| ｓ＝an+1 → ｘ＝n- | b-1 a |
-bk のとき成立 |
| ｓ＝an+2 → ｘ＝n- | 2(b-1) a |
-bk のとき成立 |
：
：
| ｓ＝an+t → ｘ＝n- | t(b-1) a |
-bk のとき成立 |
：
：
| ｓ＝an+(a-1) → ｘ＝n- | (a-1)(b-1) a |
-bk のとき成立 |
| ここで、「 | t(b-1) a |
」の部分がｎ以下だと、成立するｘが存在しません。 |
よって、１つのｎについて上の全式が成立しうるのは
| ｎ≧ | (a-1)(b-1) a |
のときです。 |
すなわちｓ≧(a-1)(b-1)。
というわけで、その状態に１人及ばない現在の人数は(a-1)(b-1)-1人です。
で、「購入者があと１人ふえれば事態は解決」なのですから、先生が自分用のノートも一緒に買うことにすれば、事態は解決できると思います。
◆埼玉県の高校生 野猿 さんからの解答。
【問題１】
まず、すべての組み合わせはすべて３冊セット、一つが１０冊セット、二つが１０冊セット…と分類できます。
一人でも多ければ…
この表現からそれより大きい人数には必ずぴったりの組み合わせがあるという意味にとれます。
つまり、その人数から先は組み合わせが作れるか否かは「可」が連続するということになります。
ここで「可」を■，「不可」を□とすると
すべて３冊 １２３４５６… （冊） □□■□□■□□■□□■□□■□□■□□■□□■□□■□□■ 一つ１０冊 □□□□□□□□□■□□■□□■□□■□□■□□■□□■□□ 二つ１０冊 □□□□□□□□□□□□□□□□□□□■□□■□□■□□■□この三つのパターンで、ある冊数からは組み合わせがすべて作れます。
【問題２】
ａ＜ｂとします。
ｂ冊セットの数をＮとして、その条件下で作れる冊数の集合をＰ（Ｎ）とします。
【１】の考え方から
Ｐ（０），Ｐ（１），Ｐ（２），Ｐ（３）…と分けられ、
ｂ冊のセットはａ個以上必要ないので
（Ｐ（Ｎ）∋Ｐ（Ｎ＋ａ）《ａｂの分ズレただけの集合》）
Ｐ（０），Ｐ（１），Ｐ（２），Ｐ（３）…Ｐ（ａ−１）
のａ通りの場合があります。
さて，ａとｂが互いに素という条件から、
Ｐ（０），Ｐ（１），Ｐ（２），Ｐ（３）…Ｐ（ａ−１）
これらの、ａで割ったときの余りは集合内で等しく、この中の他の集合とはすべて異なります。
【「可」の間隔はａごとですからいくらａを足しても余りは変わらず、集合内で等しいのは自明です。】
【逆に、もし余りが同じなら一方の「可」が一方の「可」に全て重なりますから、それぞれの集合の最小の数
はＮａ（Ｎは自然数）の差を持つｂの倍数同士ということになります。
またａはｂの因数を持ちませんからＮがｂの全ての因数を持つはずです。
つまりはｂの倍数となります。】
【すると最小の数の差はＭｂａ（Ｍは自然数）と変形でき、ａｂいくつか分だけ離れた集合なのですでに除外
された中にしか存在しないことになり、矛盾します。】
以上により余りがａ種類そろっているので
Ｐ（ａ−１）を最後とするａ個は「可」が連続します。
つまり、【Ｐ（ａ−１）の最小はｂ（ａ−１）ですから】
ｂ（ａ−１）を最後とするａ個は「可」が連続します。
よって連続が始まる最初の「可」は
ｂ(ａ−１)−(ａ−１)＝(ｂ−１)(ａ−１)（冊）
それより一人少ない人数なのでａｂ−ａ−ｂ （人）
これはａ，ｂの対称式で、ａ＞ｂとしてもよいことになり、一般的といえます。
よって答えは ａｂ−ａ−ｂ（人）
【感想】
【１】で描いた図のイメージだけで解いてしまいました。
うやむやに集合を使ってしまいましたが、もっとよい数列があるでしょうか。