◆東京都 ぱずきち さんからの解答。
共通点A11,A22,..,Ann を原点にとり、
各点Aijの座標を複素数ａij＝Ｘij＋ｉＹij で表す。
P1(A11A12...A1n),
P2(A21A22...A2n),
...
Pn(An1An2...Ann)
が相似であると言うことは、
ｎ個の複素数Ｃ1...Ｃnが存在して、
任意のｉ，ｊ，ｋ，ｌに対して
| ａik−ａil Ｃi |
＝ | ａjk−ａjl Ｃj |
が成立することである。
ｋ番目の(ｎ−１)角形の頂点の平均Ａkの座標ａkは
| ａk＝ | １ ｎ−１ |
n Σ i=1 | ａik |
と表されるから、任意のｋ，ｌに対して
ａk−ａl
| ＝ | １ ｎ−１ |
n Σ i=1 | （ａik−ａil） |
| ＝ | １ ｎ−１ |
n Σ i=1 | （ａ1k−ａ1l）Ｃi／Ｃ1 |
| ＝（ａ1k−ａ1l）Ｃ／Ｃ1 |
| ただし、Ｃ＝ | １ ｎ−１ |
n Σ i=1 | Ｃi |
が成立する。
これは、ｎ角形A1A2A3...AnとＰ1が相似であることを示している。