◆愛知県 juin さんからの解答。
【問題１】
Ω＝{1,2,...,n}×{b1,b2,b3,...,bn}とし、個数に比例した確率Pを入れる。
B君が、カードに書き込む数をb1≦b2≦...≦bnとする。
A君がひいたカードの数をA,B君がひいたカードの数をBとすれば、
B君が有利というのは、P(A＜B)＞P(A＞B) と解釈できる。
つまり、Ωの中のn2個の点の内、
(A,B)でA＜Bとなる点が,A＞Bとなる点より多ければよい。
よって、＃{(A,B)∈Ω｜A＜B}>＃{(A,B)∈Ω｜A＞B}が必要十分条件である。
ただし、＃は集合の要素の個数をあらわす。
【感想】
この問題で期待値をもちいて解答する方法がわかりません。
つまり、Bがn+1以上の数をカードに書く時、どれだけ大きくても有利、不利には関係しません。
しかし、期待値には関係します。
◆岩手県の高校生 こうすけ さんからの解答。
【問題１】
Ｂ君の持っているカードには、それぞれ１からｎ＋１までの数のうちのどれかが書かれているとするとき、
Ｂ君のｊ≦ｎとかかれたカードは、Ｂの勝ちに１ポイント、引き分けに０ポイント、負けに−１ポイントをつけ
て、Ａ君のすべてのカードと比べたとき、
「ｊの有利さ」＝勝ち数−負け数＝２ｊ−ｎ−１ とできます。
ｊ＝ｎ＋１のときは、定義から言えば値はｎですが、右の式に代入するとｎ＋１になります。
さて、カードの組み合わせは等確率で出てくるので、それぞれのＢのカードに対して有利さを求め、それらを総和して正⇔有利といえます。
つまり、
２×(カードに書かれた数の総和)−ｎ(ｎ−１)−(ｎ＋１と書かれたカードの枚数)＞０ ∴２×(カードに書かれた数の総和)−(ｎ＋１と書かれたカードの枚数)＞ｎ(ｎ−１)
一般の場合は、ｎ＋１と書かれたカードのうち何枚かがもっと大きい数になったと考えればよい。
∴２×(カードに書かれた数の総和)−(ｎ＋１以上と書かれたカードの枚数)＞ｎ(ｎ−１)