『自然数の分割』解答

◆広島県　清川　育男さんからの解答。

大きな数だと面倒なのでｍ＝２１のときを例に説明します。

1. ２１÷２＝１０．５。　２１を１１と１０に分割する。

2. １１÷２＝５．５。　１１を５と６に分割する。
   １０÷２＝５。　１０を５と５に分割する。

3. ５÷２＝２．５。　５を２と３に分割する。
   ６÷２＝３。　６を３と３に分割する。

4. ２，３はこれ以上分割しない。

　２×２×２×３×３×３×３×３
＝８×２４３
＝１９４４

　ｍ＝２１のとき上記のように分割すると積の最大は１９４４となります。

【コメント】

　この分割方法はいろいろ楽しませていただきました。
もう少し、検討（場合分け）の余地があるようです。
例えばこの例では、３⁷＝２１８７の方が大きいです。

また得られた結果について、できれば最大であるという証明もしてみてください。　

◆広島県　清川　育男さんからの解答。

　間違っていました。
分割しても積の大きさがそれ自身より大きくならない数は１、２、３、４。
５以上の数は２つの数に分割してその積の方が大きくすることが出来る。

１）Ｍ＝２ｍ　　　　Ｍ＜ｍ×ｍ
２）Ｍ＝２ｍ＋１　　Ｍ＜ｍ×(ｍ＋１)

イ）１を使うのは積を大きく出来ないので不適。
ロ）４を使うのはそれ自身のときはいいがそれ以外では不適。

　例えば　６＝２＋４　２×４＝８。
６＝３＋３　３×３＝９。　８＜９。

したがって、Ｍを次々に分割してその要素になる数は２か３となる。
ここでＭは２と３の組み合わせで必ず表わせる。

次に２と３をどのように組み合わせるが問題になる。
３を出来るだけ多く使った方がその積は大きくできる。

例えば

　１５＝２＋２＋２＋３＋３＋３。
　２×２×２×３×３×３＝２１６。

　１５＝３＋３＋３＋３＋３。
　３×３×３×３×３＝２４３。

　　 　２１６＜２４３。

このことは、例えば

　６＝３＋３。　　　３×３＝９。
　６＝２＋２＋２。　２×２×２＝８。　８＜９。

◆方法

　Ｍ÷３　商をＳとする。

1. 割り切れるとき　　２が０個、３がＳ個。
   　３^S。

2. 余り１のとき　　　２が２個、３が（Ｓ−１）個。
   　２²×３^S-1。

3. 余り２のとき　　　２が１個、３がＳ個。
   　２×３^S。

【コメント】

　今度は明解そのもので、私は正解だと思うのですが、水の流れさんどうでしょう。
ただし、上の関係はＭ≧４の場合に限られますね。

◆出題者の岐阜県　水の流れ さんの解答。

問題

「自然数Ｍをｎ個の自然数
ａ₁，ａ₂，ａ₃，・・・，ａ_nに分けて、
それらの積 ａ₁ａ₂ａ₃・・・ａ_n が最大となるような分け方を考えよ」

考え方：
具体的にＭ＝１から１０までぐらい分割方法を考えて、まずは調べてみます。
自然数Ｍの分割した自然数の数列を
ａ₁≦ａ₂≦ａ₃≦・・・≦ａ_n
としても一般性を失わない。
（和の順序を問わない）

Ｍ	分割方 法の数	積が最大 となるｎ	数列 { ａ1，ａ2，・・・}
１	１	１	{ １ } 注：特別扱い
２	２	１	{ ２ }
３	３	１	{ ３ }
４	５	１ 、 ２	{４} 、 {２ ，２}
５	７	２	{２，３}
６	１１	２	{３，３}
７	１５	２ 、３	{３，４}、{２，２，３}
８	２２	３	{２，３，３}
９	３０	３	{ ３，３，３}
１０	４２	３ 、 ４	{３，３，４}、{２，２，３，３}
１１	？	４	{ ２，３，３、３}
１２	？	４	{ ３，３，３，３}

＜研究材料＞
自然数Ｍの分割方法の数とその分割個数ｎは研究に値します。
以上から、次のことが予想されます。

1. Ｍを３で割った剰余系で分類される。

2. ２≦ａ_i≦ ４
   注：Ｍ＝１のときは特別扱いとする。

3. ２個の２（２×２＝４）と１個の４は同じ積となる。
   Ｍ＝４，７，１０、・・・・

4. たかだか２個の ａ_iが２（または１個のａ_i が４）で、他は全て３ばかり

{ａ₂＋１}＋ａ₃ ＋ａ₄＋・・・＋ａ_n
＝ａ₁＋ａ₂＋ａ₃ ＋ａ₄＋・・・＋ａ_n
＝Ｍ

をみたし、

ａ₂＋１＞ａ₁ａ₂＝１・ａ₂＝ ａ₂

{ａ₂＋１}・ａ₃・…・ａ_n
＞ａ₁・ａ₂・ａ₃・…・ａ_n

よって、ａ₁ａ₂ａ₃・・・ａ_n の最大性に矛盾する。

以上より、
２≦ ａ₁≦ａ₂≦ａ₃≦・・・≦ａ_n

（�A）５≦ ａ_n と仮定する。

このとき、数列
ａ₁，ａ₂，ａ₃，・・・，ａ_n-1，ａ_n−２，２は

ａ₁＋ａ₂＋ａ₃＋・・・＋ａ_n-1＋{ａ_n−２}＋２
＝ ａ₁＋ａ₂＋ａ₃＋・・・＋ａ_n-1＋ａ_n
＝Ｍ

をみたし、

　{ａ_n−２}・２
＝２ａ_n −４
＝ａ_n ＋{ ａ_n−４}
＞ａ_n ａ₁・ａ₂・ａ₃・……・ａ_n-1・{ａ_n−２}・２
＞ａ₁ａ₂ａ₃・・・ａ_n

よって、ａ₁ａ₂ａ₃・・・ａ_n の最大性に矛盾する。

したがって、ａ₁≦ａ₂≦ａ₃≦・・・≦ａ_n≦ ４

＜証明＞（３） 自明

＜証明＞（４）

ａ₁＝ａ₂＝ａ₃＝２ と仮定すると、
このとき、数列 3，3，ａ₄，ａ₅，・・・，ａ_n は

3＋3＋ａ₄＋ａ₅＋・・・＋ａ_n
＝2＋2＋2＋ａ₄＋ａ₅＋・・・＋ａ_n
＝Ｍ

をみたし、3×3＞2×2×2＝ａ₁ａ₂ａ₃ より

3・3・ａ₄・ａ₅・……・ａ_n
＞ａ₁ａ₂ａ₃・・・ａ_n

これも、ａ₁ａ₂ａ₃・・・ａ_n の最大性に矛盾する。
よって、２はたかだか２個、４は２と２に相当するので、ほかに２がないときに限り、たかだか１個である。

以上より、（２）、（３）、（４）はＭの値にかかわらず成立します。
したがって、ａ₁，ａ₂，ａ₃，・・・，ａ_n を次のように決定できます。

（ア） Ｍを３で割った余りが０のとき、
ｎ＝Ｍ／３で、
ａ₁＝ａ₂＝ａ₃＝・・・＝ａ_n＝３

（イ） Ｍを３で割った余りが１のとき、
ｎ＝（Ｍ＋２）／３で、
ａ₁＝ａ₂＝２、ａ₃＝・・・＝ａ_n＝３

または、
ｎ＝（Ｍ−１）／３で、
ａ₁＝ａ₂＝・・・＝ａ(ｎ−１)＝３，ａ_n＝４

（ウ） Ｍを３で割った余りが２のとき、
ｎ＝（Ｍ＋１）／３で、
ａ₁＝２，ａ₂＝ａ₃＝・・・＝ａ_n＝３

＜研究結果＞

以上のように、結果は“ほとんどのａ_iが３”ということになりました。
３という値に意味があるのではないかと思い、
ａ₁，ａ₂，ａ₃，・・・，ａ_n を有理数まで拡大します。

ｎを固定して、（相加平均）≧（相乗平均）を利用すると、

{ａ₁＋ａ₂＋ａ₃＋・・・＋ａ_n}／ｎ
≧ {ａ₁ａ₂ａ₃・・・ａ_n}の正のｎ乗根

よって、

ａ₁ａ₂ａ₃・・・ａ_n
≦［{ａ₁＋ａ₂＋ａ₃＋・・・＋ａ_n}／ｎ］ⁿ
＝{Ｍ／ｎ}ⁿ

ここで、
ａ₁＝ａ₂＝２、ａ₃＝・・・＝ａ_n＝Ｍ／ｎ のとき、等号が成立
次に、{Ｍ／ｎ}ⁿ＝ｆ(ｎ) とおいて、ｆ(ｎ)の定義域を正の実数の範囲まで拡大します。

ｆ(ｘ)＝ {Ｍ／ｘ}^x と直して、対数を取って、

Ｙ＝ｌｏｇｆ(ｘ)＝ｘ(ｌｏｇＭ−ｌｏｇｘ)

微分して、
Ｙ’＝{ｌｏｇｆ(ｘ)}’
　　＝ ｌｏｇＭ−ｌｏｇｘ−１
　　＝ ｌｏｇ（Ｍ／ｘｅ）

さらに、ｆ(ｘ)と Ｙ＝ｌｏｇｆ(ｘ)の増減は一致するので、下の増減表を得る。

ｘ	０		Ｍ／ｅ
{ｌｏｇｆ(ｘ)}’		＋	０	−
ｌｏｇｆ(ｘ)		↑	極大	↓
ｆ(ｘ)		↑	極大	↓

よって、ｘ＝ Ｍ／ｅのとき、ｆ(ｘ)は最大値をとる。

このとき、Ｍ／ｘ＝ｅ 、
そして、この実数ｘは、もともと自然数ｎだったから、

Ｍ／ｘ≒Ｍ／ｎ＝ａ_i （ｉ＝１，２，３，・・・，ｎ）

超越数ｅ＝２，７１８２８・・・ に最も近い整数が３ということです。

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