問題を読み替えると
「１０人十色とは申しますが、３人寄れば何かしら共通の話題がある２人がいるものです。
さらに、うまく４人集めれば、互いに何か共通の話題がある４人グループを作ることができます。」
ということですね。
共通話題がある＝公約数を持つことを線で結ぶこととします。
また自然数＝人をA〜Jとします。
証明はそんな４人グループ（Wグループと呼ぶ）は作れないとして背理法を適用します。
少なくとも１つの線はあるので、そのうちの１つをABとします。のこりC〜JのうちAと線で結ばれないのは高々、３人です。
なぜならもし４人いれば、その4人はAを含む「３人寄れば」の条件から全て線で結ばれなければならず、Wグループとなるからです。
ここで、問題のレベルが１下がり、Aと線で結ばれる、B〜G（６人）の中でのWグループがあるかが問題となります。
B〜Gの中にも必ず共通話題のある組があるので、これをBCとします（前段のBとは異なるかも。）
残りのD、E、F、GのうちBと線で結ばれない人は高々２人です。
なぜならもし３人いれば、その３人はBを含む「３人寄れば」の条件から全て線で結ばれなければならず、A、を加えてWグループとなるからです。
この組をCDとします。