＜予備証明終＞◆静岡県 ヨッシーさんからの解答。
【問題１】
まず、ａｄ＝ｂｃを証明しておきます。
＜予備証明＞
点Ｃを通り、ＡＢに平行な直線と、ＡＤの延長線との交点をＥとします。
∠ＢＡＤ＝∠ＣＥＤ（錯角）
および、条件（∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ）より、∠ＣＡＤ＝∠ＣＥＤとなり、
ＣＡ＝ＣＥ＝ｂであることがわかります。
△ＡＢＤと△ＥＣＤは相似ですから、辺を比較して、ａ：ｃ＝ｂ：ｄより
ａｄ＝ｂｃ・・・・・（１）が導けます。
＜予備証明終＞
さて、本題に入ります。
ａ＝ｂの時は、∠ＡＤＢ＝９０度となり三平方の定理より
ＡＤ2＝ａｂ−ｃｄ＝ａ2−ｃ2
は明らかですから、ａ≠ｂの時について考えます。
＜証明＞
∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ＝θと置きます。
△ＡＢＤ、△ＡＣＤにおける余弦定理より
| cosθ＝ | ａ2＋ＡＤ2−ｃ2 ２・ａ・ＡＤ |
| cosθ＝ | ｂ2＋ＡＤ2−ｄ2 ２・ｂ・ＡＤ |
右辺を等号で結んで
| ａ2＋ＡＤ2−ｃ2 ２・ａ・ＡＤ |
＝ | ｂ2＋ＡＤ2−ｄ2 ２・ｂ・ＡＤ |
整理して、
ｂ（ａ2＋ＡＤ2−ｃ2）＝ａ（ｂ2＋ＡＤ2−ｄ2）
ｂ・ａ2＋ｂ・ＡＤ2−ｂ・ｃ2＝ａ・ｂ2＋ａ・ＡＤ2−ａ・ｄ2
ａ・ＡＤ2−ｂ・ＡＤ2＝ｂ・ａ2−ａ・ｂ2−ｂ・ｃ2＋ａ・ｄ2
（１）を用いると、ｂ・ｃ2＝ａｃｄ、ａ・ｄ2＝ｂｃｄ ですから、
（ａ−ｂ）ＡＤ2＝（ａ−ｂ）ａｂ−（ａ−ｂ）ｃｄ
ａ≠ｂより、両辺ａ−ｂで割って、
ＡＤ2＝ａｂ−ｃｄとなります。
【問題２】
直線ＡＢ上にＡＤ＝ｂとなるような点Ｄを、点Ａをはさんで点Ｂの反対側に取ります。
△ＡＣＥと△ＡＤＥは合同ですから、ＤＥ＝ＣＥ＝ｆとなります。
△ＥＢＤの∠Ｅの２等分線がＥＡになっていますから、【問題１】の結果より直ちに
ＡＥ2＝ｅｆ−ａｂが導けます。
余弦定理はちょっと力技かも。
【コメント】
実は＜予備証明＞は、中学校２年生の教科書に載っている問題なのですが、中学生はほとんど気づきません。
この結果は、中学校の数学ではかなり便利だと思います。
◆出題者の岐阜県 水の流れ さんの解答。
「角の２等分線の長さ」の幾何による証明
問題１＜内角の場合＞
左の図のように△ＡＢＣの外接円を考え、ＡＤの延長との交点をＥとする。
∠ＢＡＥ＝∠ＣＡＤ ，∠ＢＥＡ＝∠ＤＣＡより、２角が等しいので、
∴ △ＢＡＥ∽ △ＣＡＤ
したがって、対応する辺の比が等しいことより、ＡＢ：ＡＤ＝ＡＥ：ＡＣ
∴ ＡＤ× ＡＥ＝ＡＢ×ＡＣ＝ａｂ ・・・・・・ (1)
一方、方べきの定理より，
ＡＤ× ＤＥ＝ＢＤ×ＣＤ＝ｃｄ ・・・・・・ (2)
(1) − (2) より、
ＡＤ（ＡＥ−ＤＥ）＝ａｂ−ｃｄ
∴ ＡＤ2＝ ａｂ−ｃｄ
問題２＜外角の場合＞
左の図のように△ＡＢＣの外接円を考え、ＡＤの延長との交点をＥとする。
ＡＥは∠Ａの外角の２等分線より、∠ＥＡＢ＝∠ＣＡＤ
また、四角形ＥＡＣＢは内接する四角形だから、∠ＢＥＡ＝∠ＤＣＡ
したがって、２角が等しいので、
∴ △ＡＥＢ∽ △ＡＣＤ
対応する辺の比が等しいことより、ＡＢ：ＡＥ＝ＡＤ：ＡＣ
∴ ＡＥ× ＡＤ＝ＡＢ×ＡＣ＝ａｂ ・・・・・・ (1)
一方、方べきの定理より，
ＤＡ× ＤＥ＝ＤＢ×ＤＣ＝ｅｆ ・・・・・・ (2)
(2)− (1) より、
ＡＤ（ＤＥ−ＡＥ）＝ｅｆ−ａｂ
∴ ＡＤ2＝ ｅｆ−ａｂ
＜証明終わり＞
コメント：
証明には「幾何の利用」と 「余弦定理の利用」と「Ｓｔｅｗａｒｔの定理の利用」を知っています。
他の証明方法があれば教えてください。
◆東京都 諸星こける さんからの解答。
【問題１】
ＡＢ上にＢから見てＡと反対の側に、Ｂからの長さがｃとなる点Ｅを取り、ＡＣ上にＣから見てＡの側に、Ｃからの長さがｄとなる点Ｆを取る。
このようにしてできた△ＢＥＤおよび△ＣＦＤは二等辺三角形である。
このとき
２∠ＣＦＤ
＝π−∠ＦＣＤ
＝π−∠ＡＣＢ
＝∠ＣＡＢ＋∠ＡＢＣ
＝２∠ＣＡＤ＋２∠ＢＥＤ
従って
∠ＢＥＤ＝∠ＣＦＤ−∠ＣＡＤ
となるがこれは∠ＡＤＦに等しい
以上より△ＡＥＤ∽△ＡＤＦ
（∠ＤＡＥ＝∠ＦＡＤ,∠ＡＥＤ＝∠ＡＤＦの２角が等しいため）
が言える。
従ってa+c:AD=ＡＤ:b-d
AD2=ab+cb-ad-cd
ここで角の２等分線の性質よりad=bcなので
この等式はab-cdに等しい■
【問題２】
ＡＢ上にＡから見てＢと反対の側に、Ａからの長さがｂとなる点Ｃ’を取ると、
ＥＡはＢＥＣ’の２等分線である。
また△ＡＥＣ≡△ＡＥＣ’よりＥＣ’＝ｆ
あとは問題１の結果より直ちにAE2=ef-abが従う■
問題１の証明はいろいろあるでしょうが、私の考えた中で一番シンプルといえそうなのはこれでした。
それにしても綺麗な性質ですね。
◆東京都の中学校３年生 もやし さんからのコメント。
２００６年２月１０日の開成高校の入試問題で角の二等分線の長さを文字で表せ、という問題が出ました。
(受けた本人が言うんだから、本当です。)
そうです。これとほぼ同じです。
そっかぁ…水の流れさんのようにやればよかったのか…
だからあんな簡単な相似の証明があったのか…