◆東京都 かえる さんからの解答。
【問題１】
正方形をＡＢＣＤとし、Ｐ（２）をＢＣ上、Ｐ（３）をＣＤ上にとっても一般性は失われない。
Ｐ（２）、Ｐ（３）を固定して、Ｐ（１）を動かせば、Ｐ（１）＝Ａのとき、三角形の面積は最大。
Ｐ（１）＝Ａの状態で、Ｐ（３）を固定して、Ｐ（２）を動かせば、Ｐ（２）＝Ｂのとき、三角形の面積は最
大。
Ｐ（１）＝Ａ、Ｐ（２）＝Ｂの状態で、Ｐ（３）を動かしても、三角形の面積は一定。
以上より、連続する２頂点、及び残りの２頂点がなす辺上に１点あるときに、三角形の面積は最大になり、
| その面積は、 | １ ２ |
ａ2・・・【答】 |
【問題２】及び【発展問題】
【問題１】とほぼ同様に点を固定して考えていくことにより、
連続する（Ｎ−２）頂点、及び残りの２頂点がなす辺上に１点あるときに、（Ｎ−１）角形の面積は最大にな
り、その面積は、
| ｛ | Ｎ ４ｔａｎ（π／Ｎ） | − | １ ２ | ｓｉｎ（ | ２π Ｎ | ）｝ | ａ2・・・【答】 |
◆宮城県 甘泉法師 さんからの解答。
【発展問題】
ｘｙ座標の原点を中心とする半径１の円に、点（1，0）に頂点があるように内接させた正ｎ角形がある。
正ｎ角形の周上の点Ｒ(X,Y)、線分ＯＲがｘ軸となす角をθ、
Ω＝（２π/ｎ）[θ/（２π/ｎ）]、φ＝θ-Ωとする。
ここで[ｚ]はｚを越えない整数を意味するガウス記号。
正弦定理を使い、点Rの在る辺が点Rでどのように内分されるかを考えて、
| X = β cos(Ω+ | ２π ｎ | ）+（1-β）cosΩ |
| Y = β sin(Ω+ | ２π ｎ | ）+（1-β）sinΩ |
ここで β＝sin φ / 2sin(π/ｎ）cos (φ-π/ｎ）
点を複数考えRi(Xi,Yi) i=1,2,...,k とする。
隣り合う２点と座標原点の作る三角形の面積の2倍は、
XiYi+1 - Xi+1Yi、
ここでiは角度の半時計まわりに増、なので、点Riを頂点とするｋ角形の面積の2倍は、
多変数 θi i=1,2,...,k＜ｎ ，
0≦θ1＜θ2＜...＜θk＜２πの関数で
| k Σ i=1 | （XiYi+1 - Xi+1Yi） ただし θk+1=θ1 |
| ・ Xi | (Yi+1 - Yi-1)+ |
・ Yi | (Xi-1 - Xi+1) = 0 ， |
ここで | ・ Zi | はθiによる導関数をあらわしている。 |
点Ri-1と点Ri+1が与えられた場合に点Riのあるべき位置がこの式でわかるが、
図形の考察から、△Ri-1RiRi+1で底辺RiRi+1に対する高さを最大にすべく、正ｎ角形に接する、直線Ri-1Ri+1に平行な直線の接点（接線の場
合はその辺上の任意の点）であることがわかる。
以上から
（１）点Rは正ｎ角形の頂点に位置しようとする。
なお上記「接線」の場合でもその辺の端点を選べる。
（２）点Rどうしはできるだけ離れ、このため図形は正ｋ角形に近づこうとする。
という傾向がわかる。
| これからn = k [ | n k | ] + m とあらわし、 |
| (ｋ-m)個は[ | n k | ]-1個の、ｍ個は[ | n k | ]個の正ｎ角形の頂点を |
この内接ｋ角形の面積の２倍は
| (ｋ-m) sin ([ | n k | ] | ２π ｎ | )＋ m sin ｛([ | n k | ]+1) | ２π ｎ | ｝ |
◆東京都 昔取った杵柄 さんからの解答。
【発展問題】
正Ｎ角形の上で、ｋ点 (p1,p2,…pk)を取った図形の面積の最大値を、次の順に考えてみました。
＜補題１＞
面積が最大になるｋ点は、すべて、正Ｎ角形の頂点にある場合と考えて良い。
∵ 例えば、p1 が正Ｎ角形の辺にある図形を考えると、
p1の属する辺と、pkとp2を結ぶ線分が平行でなければ、どちらかの頂点へp1を取り直した方が、面積が大きく
なるので、最大にはなりません。
p1の属する辺と、pk〜p2の線分が平行の時でも、とりあえず、最大の面積を求める場合には、どちらかの頂点 へp1を移した図形で代理して考えます。
＜補題２＞
Ｎ頂点からのｋ点の選び方が、片寄っている物は、面積最大の図形ではない。
∵ Ｎをｋ個の正整数に分割した物を考えます。
{｛bi}[i=1〜k]; b1+b2+ … +bk = N , bi は正の整数 }
bi個おきに、頂点を選んだ図形の面積をＳ とすると、正Ｎ角形の中心から線を引いて三角形に分けて、
| Ｓ = | 1 2 | *sin(( | 2π N | )*b | i | ) と書けます。 |
例えば、もし、b1とb2が
b1 ＜ b1+1 ≦ b2-1＜b2 と、２以上離れていた場合は、
sin(x)は、0＜x＜π で上に凸なので、
| sin( | 2π N | *b | 1 | )+sin( | 2π N | *b | 2 | ) < sin( | 2π N | *(b | 1 | +1))+sin( | 2π N | *(b | 2 | -1))となり、 |
＜結論＞
Ｎを、最大と最小の差が１になるように、ｋ個に分ける方法は、ガウス記号を使って、次のように書けます。
| [ | N k | ] を ｋ-{N-[ | N k | ]*k} 個 |
| [ | N k | ] +1 を、{N-[ | N k | ] *k} 個 |
面積最大の物は、これに対応する物、
つまり、できるだけ、正ｋ角形に近付くように頂点を選んだ物で、(他にもあるはずですが)
最大値は、次のようになります。
| 1 2 | *(ｋ-{N-[ | N k | ]*k})*sin( | 2π N | *[ | N k | ])+ | 1 2 | *(N-[ | N k | ]*k)*sin( | 2π N | *{[ | N k | ]+1}) |
＜コメント＞
たぶん、答えは合っていると思うのですが、(そう信じているのですが…) 少し議論が怪しい気がしますので、足りない所があれば、教えてもらえればと思っています。