◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答。
【証明】
M=N! 与式をF(M,K)とし、約数を大きい方から
P1(=M),P2・・・,PL=1とします。
(1) F(M,K)=Σ( | Pi M | ) | K | ≧( | P1 M | ) | K | =1 |
(2) F(M,K)=Σ( | Pi M | ) | K | ≦Σ( | Pi M | ) | 2 | =F(M,2) |
∵ ( | Pi M | )≦1、K≧2 |
よって [F(M,K)]=1であるためには F(M,2)<2が証明されればよい。
M=ΠQiTiに因数分解されるとします。
ここでQiは相異なる素数でTiは自然数です。
Mの約数はΠQiSi、 Si≦Tiですから
(3) F(M,2)=Π | 1+Qi2+Qi4+Qi6・・・Qi2Ti Qi2Ti | <Π | Qi2 Qi2-1 |
です。
この式はすぐには分かりにくいと思いますので具体的に示します。
(例)M=120=2*2*2*3*5の場合
約数は{1 2 4 8, 3 6 12 24,5 10 20 40,15 30 60 120} ですが、
その総和(K=1)は (1+2+4+8)*(1+3)*(1+5)で計算されます
同様に2乗和(K=2)は
(1+22+42+82)*(1+32)*(1+52)
で計算することができます。
各括弧内は等比級数ですから
(1+22+42+82)*(1+32)*(1+52)
=(44-1)/(4-1)*(92-1)/(9-1)*(252-1)/(25-1)
< 4492252/(4-1)/(9-1)/(25-1)
=M2*4/(4-1)*9/(9-1)*25/(25-1)
です。
Qiは相異なり,2以上です。従って
(4) | Π | Qi2 Qi2-1 | < | ∞ Π J=2 |
J2 (J-1)(J+1) | =2 |
よってF(M,K)≦F(M,2)<2である。
【P.S.】
(1)N!の必然性が?です。
(2)実際に計算(5桁)すると下表でした。
K | F(M , K)上限 | F(32! , K) |
2 | 1.6449 | 1.6347 |
3 | 1.2020 | 1.2019 |
4 | 1.0823 | 1.0823 |
5 | 1.0369 | 1.0369 |
6 | 1.0173 | 1.0173 |
7 | 1.0083 | 10083 |