◆石川県 Takashi さんからの解答。
≪T≫
図形の問題をｓ問、数の問題をｔ問予習していく。
【ｓ,ｔは整数、０≦ｓ≦４、０≦ｔ≦４】
４問の問題から２問出題されるとき、出題される問題の組合せの数は、６通り。
＜z@＞
ｓ＝０のとき、
予習をしていないので問題は解けない。
よって、期待値＝０
＜zA＞
ｓ＝１のとき、
予習した問題が１題出題される組合せは、３通り。
予習した問題が０題出題される組合せは、３通り。
よって、
期待値
| ＝２５× | ３ ６ |
＋０× | ３ ６ |
| ＝１２．５ |
＜zB＞
ｓ＝２のとき、
予習した問題が２題出題される組合せは、１通り。
予習した問題が１題出題される組合せは、４通り。
予習した問題が０題出題される組合せは、１通り。
よって、
期待値
| ＝５０× | １ ６ |
＋２５× | ４ ６ |
＋０× | １ ６ |
| ＝２５ |
＜zC＞
ｓ＝３のとき、
予習した問題が２題出題される組合せは、３通り。
予習した問題が１題出題される組合せは、３通り。
よって、期待値＝３７．５
＜zD＞
ｓ＝４のとき、
予習した問題が２題出題される組合せは、６通り。
よって、期待値＝５０
ｓもｔも条件は同じなので、
z@〜zDより効率はどれも同じで、１２．５
答．図形も数も、１問以上予習していけば何問予習しても効率は同じである。
≪U≫
図形が６問から２問、数が２問から２問出題されるとすると、数の問題は、２問とも予習していくべきである。
図形の問題をｓ問予習していくときの得点の期待値を、Ｍ(s)とすると、
問Tと同様に、
Ｍ(0)＝０
Ｍ(1)＝８．３３・・
Ｍ(2)＝１６．６６・・
Ｍ(3)＝２５
Ｍ(4)＝３３．３３・・
Ｍ(5)＝４１．６６・・
Ｍ(6)＝５０
| よって、Ｍ(s)＝ | ５０ ６ |
×ｓ |
効率は、
（Ｍ(s)＋５０）÷（ｓ＋２）
＝８．３３・・{（３３．３３・・／（ｓ＋２）｝
ｓ＝０のとき、最大値 ２５
答.数の問題を２問、予習していくと効率が２５で最大となる。
≪V≫
| Ｃ（a,b）＝ | ａ！ (ａ−ｂ)！ｂ！ |
８問ある予想問題の中からｓ問予習していくとき、
得点の期待値をＸ（ｓ）とする。
【ｓは整数、０≦ｓ≦８】
８問ある予想問題から４問を出題する組合せは、
Ｃ（8,4）＝７０通り。
予習した問題からｔ問、
予習していない問題から（４−ｔ）問出題される組合せを
ｆ（s,t）とすると、
【ｔは整数、０≦ｔ≦４,ｓ−４≦ｔ≦ｓ】
ｆ（s,t）＝Ｃ（s,t）×Ｃ（8-s,4-t）
| ｓ Σ t=0 | ｆ(s,t)＝７０ |
| Ｘ(s)＝ | ｓ Σ t=0 | [{ｆ(s,t)÷７０}×２５ｔ] |
| Ｘ(s)＝ | 4 Σ t=s-4 | [{ｆ(s,t)÷７０}×２５ｔ] |
＜ａ＞
ｓ＝０のとき、ｆ(0,0)＝７０
(1)より、Ｘ(0)＝０
＜ｂ＞
ｓ＝１のとき、
ｆ(1,0)＝ｆ(1,1)＝３５
(1)より、Ｘ(1)＝１２．５
＜ｃ＞
ｓ＝２のとき、
ｆ(2,0)＝ｆ(2,2)＝１５、ｆ(2,1)＝４０
(1)より、Ｘ(2)＝２５
＜ｄ＞
ｓ＝３のとき、
ｆ(3,0)＝ｆ(3,3)＝５、
ｆ(3,1)＝ｆ(3,2)＝３０
(1)より、Ｘ(3)＝３７．５
＜ｅ＞
ｓ＝４のとき、
ｆ(4,0)＝ｆ(4,4)＝１、
ｆ(4,1)＝ｆ(4,3)＝１６、
ｆ(4,2)＝３６
(1)より、Ｘ(4)＝５０
＜ｆ＞
ｓ＝５のとき、
ｆ(5,1)＝ｆ(5,4)＝５、
ｆ(5,2)＝ｆ(5,3)＝３０
(1)より、Ｘ(5)＝６２．５
＜ｇ＞
ｓ＝６のとき、
ｆ(6,2)＝ｆ(6,4)＝１５、
ｆ(6,3)＝４０
(1)より、Ｘ(6)＝７５
＜ｈ＞
ｓ＝７のとき、
ｆ(4,3)＝ｆ(4,4)＝３５
(1)より、Ｘ(1)＝８７．５
＜ｉ＞
ｓ＝８のとき、ｆ(8,4)＝７０
(1)より、Ｘ(8)＝１００
よって、
Ｘ(s)÷ｓ＝１２．５
１問以上予習すれば何問予習しても、効率は等しい。
＜感想＞
テスト勉強をしても無意味に見える結果が出ている様です。
Ａ君は効率を考えているひまがあったら全部の問題を十分に理解できるまで勉強するべきでしょう。
◆東京都 鳳 奥人 さんからの解答。
※各図の表はMicrosoft Excelで作成したものです。
そのため、文中では分数で表記されているものが表中では小数表記になっています。
ご了承下さい。
【問題１】
予想問題はどちらも４問ずつですね。
予想問題４問のうち出題する２問を選ぶ選び方は
全部で4Ｃ2＝６通り。
●まず、１問だけ勉強した場合、
その１問を含む出題方法は６−3Ｃ2＝３通り。
（その１問が含まれない出題方法の数を引く）
| 確率は | 3 6 | 。 |
| よって期待値は25× | 3 6 |
＝12.5。 |
勉強した問題１問あたり12.5。
●２問勉強した場合、
その２問がずばり出題される出題方法はもちろん１通り。
| 確率は | 1 6 | 。 |
また、２問のうち１問だけがあたりとなる出題方法は、出題されたもう１問が勉強しなかった２問のどちらかになるから
２×２＝４通り。
| 確率は | 4 6 | 。 |
| よって期待値は50× | 1 6 |
＋25× | 4 6 |
＝25。 |
●３問勉強した場合、
そのうちの２問がずばりあたりである出題方法は3Ｃ2＝３通り。
| 確率 | 3 6 |
１問だけがあたりである出題方法はやはり３通り。
| 確率 | 3 6 |
| よって期待値は50× | 3 6 |
＋25× | 3 6 |
＝37.5。 |
●４問勉強した場合、
そのうちの２問があたりである出題方法は当然６通り。
| 確率 | 6 6 |
| よって期待値は50× | 6 6 |
=50。 |
１問も勉強しなかった場合は考えるまでもなく期待値はゼロ。
これをもとに、図形の問題・数の問題を何問勉強したかによる１問あたりの期待値をはじきだしたのが下図です。
計算方法は「（図形問題の期待値＋数問題の期待値）÷（図形問題数＋数問題数）」です。
効率的には、「全問題をあきらめる」のでなければ、どちらの分野を何問勉強しようが効率は変わらないということになるようです。
であれば、全問勉強して満点を狙うのが最良の策だと思います（笑）。
【問題２】
１）図形問題編
出題する２問の選び方は6Ｃ2＝15通り。
●１問勉強したとすると、その１問を含む出題方法は５通り。
（もう１問を残り５問の中から選ぶから）
| 確率は | 5 15 |
。 |
| 期待値は25× | 5 15 |
＝ | 25 3 |
。 |
●２問勉強したとすると、
| その２問とも出題される確率は | 1 15 |
。 |
| 確率 | 8 15 |
。 |
| よって期待値は50× | 1 15 | ＋25× | 8 15 |
＝ | 50 3 |
。 |
●３問勉強したとすると、そのうち２問があたりである出題方法は
どの２問があたりかで3Ｃ2＝３通り。
| 確率 | 3
15 |
。 |
１問だけがあたりである出題方法は、
どの１問があたりかで３通り×出題されるもう１問の選び方３通り＝９通り。
| 確率 | 9 15 |
。 |
| よって期待値は50× | 3 15 | ＋25× | 9 15 |
＝ | 75 3 |
。 |
●４問勉強した場合、考え方は３問の場合と同様だから
| ２問があたりである確率は | 6 15 |
。 |
| １問だけあたりである確率は | 8 15 |
。 |
| よって期待値は50× | 6 15 | ＋25× | 8 15 |
＝ | 100 3 |
。 |
●５問勉強した場合、考え方はやはり３問の場合と同様だから
| ２問があたりである確率は | 10 15 |
。 |
| １問だけあたりである確率は | 5 15 |
。 |
| よって期待値は50× | 10 15 | ＋25× | 5 15 |
＝ | 125 3 |
。 |
●６問勉強した場合、絶対その中の２問が出題される。
確率100％。
期待値は当然50。
２）数の問題編
予想問題が２問ということは、本番もその２問が必ず出ることになります。
１問だけ勉強した場合 期待値２５
２問とも勉強した場合 期待値５０
これをもとに、図形の問題・数の問題を何問勉強したかによる１問あたりの期待値をはじきだしたのが下図 です。
計算方法は「（図形問題の期待値＋数問題の期待値）÷（図形問題数＋数問題数）」です。
これによると「図形問題０問、数の問題１問または２問」（期待値２５）が一番効率がいいようです。
【問題３】
勉強する問題も、図形・数にかかわりなくていいんですよね。
出題する問題の選び方は8Ｃ4＝70通り。
ｎ問勉強した場合の期待値の求め方は以下の通り。
１）ｎ＝０ のとき 期待値はもちろんゼロ。
２）１≦ｎ≦４ のとき
勉強したｎ問中ｋ問（１≦ｋ≦ｎ）が含まれる出題方法は
nＣk×8-nＣ4-k 通りなので、ｋの各値について出題パターン数を求め、ｋの値に応じた期待値を算出。
３）５≦ｎ≦８ のとき
勉強したｎ問中ｋ問（１≦ｋ≦４、ｋ≧ｎ−４）が含まれる出題パターンは
nＣk×8-nＣ4-k 通り。
以下、２）と同様。
※ｋ≧ｎ−４なのは、「勉強しなかった問題からの出題数（４−ｋ）」が
「勉強しなかった問題の総数（８−ｎ）」を超えてはいけないからです。
下図 は上で求めたｎ(勉強数)とｋ(的中数)の値による出題パターン数と、そこから求めた１問あたりの期待値の表です。
すっかりあきらめてしまうのでなければ、効率としては何問勉強しても変わらないようです。
問題１と同様、全問勉強して満点を狙うのが最上のようです・・・