◆東京都 ＧＯＦＹ・和人さんからの解答。
【問題３】
ぷはぁ、この問題は何を求めて居るんだ？？
俺、今、酔って居るんだ。何が悪い？？（本当なんだ、こら！）
ぐひぃ。面積最大の四角形？？
んなの辺の長さの合計が大きくなれば無限大に拡散するわい。
最近は無限大に収束するんだって？
ワシの頃はそんな話はなかったぞ。まあ良い。
この問題が問題として成り立つには「一定の外周を持つ四角形で」最大面積になるのは？ という意味だろ？？
んにゃろ！ 違っていたら泣いちゃうからな。
ほんでもって、そんな条件でぇ、へくっ、外角を持つ四角形は、四角、しかく、しっかく、失格。
直感だけどぉ、最大になるわけないじゃん。
んじゃ、内角だけを持つ四角形を一般化してぇ、対角線をひいてみようかっ、ひくっ。
できあがった４個の三角形を考えると、扁平になるほど外周に対して面積の効率が悪いじゃん。
んじゃ正三角形４個を集めれば最大効率か？、てんの。
でもねぇ正三角形４個をひっつけるとひし形・・・平行四辺形ともゆうよなぁ。
こいつ、斜辺の傾きの分だけ面積効率が悪いじゃん。
ふんじゃ、４直角の長方形は？・・隣り合う・・目が廻ってきた・・早いとこ終わらせよっ。
隣り合う辺の長さに差があるほど面積効率悪いじゃん。
あら？キーボードがとろけてる？？
結局正方形が最も効率いいのだ。こら！悪いか！
そう言えば、へぐっ、外周が一定の場合、正多角形が最も面積が広かったような記憶が・・
もう指先が、頭が、足が、Ｇｕｕｕ・・・・・
【コメント】
もうだいぶＢｅｅｒがまわったぞ。
自分で作ったＢｅｅｒはやっぱりうめぇなぁー、ひくっ。
昔、周一定の時の最大面積の図形も求めたなぁー。
そういや今度は違う問題出したっけ。
ａ，ｂ，ｃ，ｄは決まった長さだから、変えたらまずいずら。
角度にどんな関係があったら、最も面積が広いんだろう？？？？という問題でぇす。
◆東京都 ＧＯＦＹ・和人さんからの解答。
【問題３】
あはっ、醤油問題か。ソースか、もう迷わネーズ。今日はシラフだぜ！（どうにか）
ええと、とりあえず対角線を引いてみよっか。
対角線ＢＤをＬ１としてみよっ。
（ついでに対角線ＡＣをＬ２としよう）
ややこしいので線分ＡＢ、Ｌ１、ＡＤの長さをａ，Ｌ１、ｄとしよっか。
（またついでに線分ＢＣ、ＣＤをｂ，ｃとするぞ）
（ａ＋Ｌ１＋ｄ）／２を仮にＪ１とすると三角形ＡＢＤの面積は公式から
同様に線分ＢＣ、ＣＤ，Ｌ１の長さをｂ、ｃ、Ｌ１としてみよっ。
（ｂ＋ｃ＋Ｌ１）／２をＪ２とすると三角形ＢＣＤの面積は公式から
となりならむ、かな。
ここで ｂ＋ｃ＞ａ＋ｄの場合を考えるとしてａ＋ｄ−Ｌ１＝Ｌｘとしてみましょうか。
ａ＋ｄ＝Ｌ１のとき、Ｊ１＝ａｄ−Ｌｘ／２＝Ｌ１＋Ｌｘ／２になるから
となるかな？？？？
ええい！書いている本人がわけ解らなくなってきた。
要するに対角線の甲地（こっち）が長けりゃ乙地（あっち）が短くなるにだ。
ａ＋ｄ＝Ｌ１のときにＬ１が最大、Ｌ２が最小。（ａ＋ｄ＜＝ｂ＋ｃの場合）
ａ＋ｂ＝Ｌ２のときにＬ２が最大、Ｌ１が最小。（ａ＋ｂ＜＝ｃ＋ｄの場合）
これって四角形の最大面積をＬ１，Ｌ２の組み合わせの中から求めるやつ。
世間様が「線形計画法」と呼んでいるやつか？
「わたくし、ふうてんのＧＯＦＹと発止ますは文系の出身でございます」
なんてことは言い訳にしませんが、線形計画法に触れた事がない。
もっとエレガントな解法はないものか？
おお！ありそうだ。先の公式に潜んでいるじゃないのか？
対角線ＡＣの長さをＡＥ＝Ｌ１、ＥＣ＝Ｌ２、ＢＤの長さをＢＥ＝Ｌ３，ＥＤ＝Ｌ４と再定義してみよう。
@四角形の辺の長さａ，ｂ，ｃ，ｄは変えられない。
A対角線の長さは対抗する辺の長さの合計に依存して変化可能。
B三角形ＡＥＤの面積は辺ｄが一定なのでＬ１、Ｌ４の積に比例する。
C三角形ＢＥＣの面積も辺ｂが一定なのでＬ２，Ｌ３の積に比例する。
D三角形ＡＢＥ、ＣＤＥも同様にＬ１，Ｌ３ Ｌ２、Ｌ４の積に比例する。
結論として四角形の２つの対角線の長さの積が最大のとき、面積も最大になる。
（どうもそのとき２つの対角線の和も最大になるらしい。深く考えていないけれど）
私が酔っぱらって怪答を寄せた日（日曜日）、ある囲碁の会に参加した日でした。
参加者の中には＊長谷川五郎氏や＊小林正義会長も居ました。
＊長谷川五郎氏：現代オセロの創始者。もとオセロ名人。囲碁アマ五段格（強い五段）
＊小林正義会長：税理士がつくる囲碁クラブの全日本現役会長。囲碁プロの小林覚（元棋聖）、千寿、などプロ３兄弟の岳父。
楽しく碁を打って楽しく飲んで、挙げ句の果てあのような怪答ができあがりました。
（おおっ、恥ずかしい）
シラフの今日も怪答に変わりありませんが、題意だけは正しくつかんだようです。
>へくっ、外角を持つ四角形は、四角、しかく、しっかく、失格。>
おおっ、外角を持たない多角形とは？？そんなのないよ。
言いたかったのは多分・・・あれ？単語が出てこない。酔っていてもシラフでも変わりないか。
ほら、四角形なら、やじりのように内角の一つがＯｖｅｒ１８０度の多角形。
だれか教えて下さい。そんな多角形の総称とその角度。
【コメント】
外角を持たない四角形→凹四角形なんていうようですよ。
できたら角度の関係、一発で表せるとかっこいいなぁ。
◆東京都 M.Y さんからの解答。
【問題３】
この問題は、みんな酔っ払いながらやるのか。
きっと酔っ払い限定問題だなぁ。
よーし、おれも飲んで考えるとするか！
ごくっ、ごくっ、ごくっ、........
ぷはー、ひぃーーーーーー！
やっぱ自分ですって作ったりんご100%ジュースはうまいねぇ。ひっく。
なになに？ このもんだい、コメントをよむと、ひっく。
「角度にどんな関係があったら、最も面積が広いんだろう？？？？」
「できたら角度の関係、一発で表せるとかっこいいなぁ。」
だってぇ？ ひっく。
ひっひっひっひ、こーんなこと書いちゃー、だめだよー。ひっく。
こりゃぁ答えは、対角の角の和が180度ってことで、四角形が円に内接するときだなぁ。きっとそーにちがいあるめぇ。ひっく。
んじゃ、対角線の1つを変数にとって考えると、きいっと、収拾がつかなくなるな。ひっく。
んじゃ、ここは角を変数にしてやっかぁ。ひっく。
まずは、四角形ABCDの面積をS、角Bをx度、角Dをy度としてSを求めてみんべ。
| Ｓ＝ | １ ２ | ａｂsin(x)＋ | １ ２ |
ｃｄsin(y) |
|ＡＣ|2
＝ａ2＋ｂ2−２ａｂcos(x)
＝ｃ2＋ｄ2−２ｃｄcos(y)
んな、感じやな。これでyを消去してSを微分すりゃ、おしまいだ....といいたいところだけど、面倒だし、そんなきたなくなった式なんてだれも見たくねーぞ。
こういう条件付き極値問題を解くときゃ、やっぱ、Lagrangeの未定乗数法だろ。
なんで、こんな便利な方法を高校生には教えないんだ。
あのとき（？）は、こういう問題を解くときは苦労したぜ.....うっうっうっ。
おっと、先を続けにゃ。とりあえず新しい関数をT、変数をzとでもして
Ｔ(x,y,z)
＝Ｓ(x,y)+z(ａ2+ｂ2-２ａｂcos(x)-ｃ2-ｄ2+２ｃｄcos(y))
| ＝ | 1 2 | ab sin(x) | + | 1 2 |
cd sin(y)+z(a2+b2-２ab cos(x)-c2-d2+2cd cos(y)) |
Tをx、y、zで偏微分して、=0にすると
| dT dx | ＝ | １ ２ |
ab cos(x)+2zab sin(x)=0 |
| dT dy | ＝ | １ ２ |
cd cos(y)-2zcd sin(x)=0 |
| dT dz | ＝ | a2+b2-2ab cos(x)-c2+d2+2cd cos(y)=0 |
（条件式そのもの）
上の2つの式からxとyの関係を求めると
| ｚ＝ | 1 4 | cot(x)＝- | 1 4 | cot(y) |
tan(x)=-tan(y)
ｘ＋ｙ＝１８０
おお、やっぱ予想通りたっだ。
最後の式はxとyを具体的にa、b、c、dを使って表すためのもんだから、使わなくても問題なかろう。
え、なになに、これは、ただ極値（停留値）を求めただけで最大かどうかわからないって？
それに細かいところで証明がぬけてるって？？
おっと、だいぶ酔い（？）が回ってきたなぁー、もう説明するのも面倒だ。
見た目も明らかなことだし。ちゃんとした説明は、しらふに戻った次の機会ということで....Zzzzzzz....
（注：たぶん、この次はない）
【コメント】
う、読んでいる私もまた今日も酔っているなぁ。
最近、飲まずにはいられないんですよ。つらいっす。
しかしこの解答は鮮やかだなあぁ・・・・
円に内接する四角形だったらＯＫというわけか。
◆∠Ｂ＋∠Ｄ＝１８０度である四角形が存在することの証明。
（１）ａ＋ｂ≦ｃ＋ｄ かつａ＋ｄ≦ｂ＋ｃの場合。
∠Ｂ＝１８０度になった場合、つまり四角形ＡＢＣＤが△ＡＣＤになった場合は
∠Ｂ＋∠Ｄ＞１８０度。（図ア）
一方、∠Ａ＝１８０度、つまり四角形ＡＢＣＤが△ＢＣＤになった場合は
∠Ｂ＋∠Ｄ＜１８０度。（図ウ）
前者から後者まで、四角形ＡＢＣＤを連続的に変形すれば、
∠Ｂ＋∠Ｄも連続的に変化し、中間値の定理より少なくとも一つは
∠Ｂ＋∠Ｄ＝１８０度である四角形が存在する。（図イ）
（２）ａ＋ｂ≦ｃ＋ｄ かつａ＋ｄ≧ｂ＋ｃの場合。
（３）ａ＋ｂ≧ｃ＋ｄ かつａ＋ｄ≦ｂ＋ｃの場合。
（４）ａ＋ｂ≧ｃ＋ｄ かつａ＋ｄ≧ｂ＋ｃの場合。
についても同様。
(ア)∠Ｂ＋∠Ｄ＞１８０度。
↓
(イ)∠Ｂ＋∠Ｄ＝１８０度。
↓
(ウ)∠Ｂ＋∠Ｄ＜１８０度
◆茨城県 新竹の子 さんからの解答。
【問題３】
四角形の面積を S, また ∠B = α，∠D = β，AC = x とすると
x2=a2+b2-2ab cos(α)= c2+d2-2cd cos(β)
の条件のもとに，
| S = | 1 2 | ab sinα + | 1 2 | ab sinβ |
が最大となるとき，x, α, β がどうなるかを考えればよい。
いま x 軸上に３点 E(a2 + b2, 0), F(c2 + d2, 0), P(x2, 0) を，
また P を通る x 軸の垂線上に図１のように
GE = 2ab, HF = 2cd となる点 G, H をとり，
∠GEP = α，∠HFP = π-β とすると
EP = a2+ b2- x2= 2ab cosα
PF = x2- c2- d2= 2cd cos(π-β)
であり
| S = | 1 4 | {2ab sinα + 2cd sin(π-β)} = | 1 4 | ( GP + HP ) … (注) |
となる。
よって，P を移動したとき，GH が最大となるのはどういう場合かを考えればよい。
図２において，GP と HP の増減がバランスするところが最大だから
(ちょっといい加減かな … (^^! お助けを! )
G, H における円 E, F の接線の傾きが一致する，
すなわち GE, HF が平行となるのが求める場合，
したがって α=π-β より α+β=π
| また x2= | cd(a2+b2) + ab(c2+d2) ab + cd | となる。 |
(注) ヘロンの面積公式からも次式が成り立つ。
◆東京都 昔とった杵柄 さんからの解答。
【問題３】
以下のアイディアは、その昔、微積分の講義の１回目に「つかみ」として聞いた物です。
この問題の解答としては反則なのですが、どうか大目に見てください。
＜証明＞
まず、問題の四角形ABCD が、円に内接している状態の図形を考えます。
ここで、円周の長さは、 弧AB、弧BC、弧CD、弧DA の４つの和で、円の面積は、四角形ABCDと、弧と弦で挟まれた部分４つの面積の和になっている事に注意します。
もし、この四角形が、さらに面積の大きな別の形 A'B'C'D' という形になったとします。
この四角形A'B'C'D'の各辺に、先程の弧AB、弧BC、弧CD、弧DA をくっつけた図形を考えると、
図形の周の長さは、弧AB、弧BC、弧CD、弧DA の４つの和で、
また、図形の面積は、四角形A'B'C'D'と、先程の弧と弦で挟まれた部分４つの和になります。
つまり、この図形は、周の長さは円と同じで、内部の面積が円より大きくなっているのです。
こういう事は、あり得ない（！）ので、円に内接している状態が、四角形の面積最大である事が示せます。