◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答。
【おまけ１解答その２】
（ａ，ｂ，ｃの対称性にこだわって問題を無理やり難しく解いたようです。
以下は ａ，ｂ，ｃを非対称に扱う方法です。)
生成式として下記２種類を考えます。
ａ，ｂ，ｃは前と同じ定義でａ＋ｂ＋ｃ＝１です。
ここで漸化式の生成元は
ｂpｃqの Dmax-r≧ｐ≧ｑ≧０ ｐ＋ｑ≦Ｄｍａｘ のもの全てです。
ａ＝１-ｂ-ｃ であるので、左辺において(１)もｂpｃqの線形結合に変形できます。
その結果ｐ≦ｑの項も出てきますが、ｂとｃは対称なので、一方がわかれば他方もわかるため、予め省いておくことができます。
Ｑを求める左辺において(２)のｂpｃq(下図黄色セル)は生成元そのものですから、全部独立です。
結局 生成元の数 −(２)の要素の数は
ｂpｃq for ｒ＞ｐ≧ｑ≧０(下図赤紫セル)の数ですから
(２)だけでは条件が
| １＋２＋..＋r＝ | ｒ(ｒ＋１) ２ |
個だけ足りません。 |
一方(１)の条件(下図青枠)は(２)では関係しない領域(下図赤紫セル)に入り込みかつ下図のように外から１個づつ決めてゆけますから、Ｑは初めから上三角行列です。
｜Ｑ｜＝１
逆に下図赤紫セルに関係しない(１)の要素は独立ではありません。
従って Ｄｍａｘ＝３ｒ−２となります(ＭＬ展開に同じ)。
よって計算すると、
| 生成元の数は | ｒ(７ｒ＋２) ４ |
個 |
| 漸化式の次数は | ｒ(ｒ＋１) ２ |
個です。 |
以上より漸化(方程)式は
a=1-b-c ｂ＝(１−ν)b’
ｃ＝(１−ν)ｃ’を用いて
(１)
Δ[i,j]{Ｃ(ｒ；i,j)(-1)i+jｂi+pｃj+q}
＝a r(1-ν)p+qｂ’pｃ’q
より
Δ[i,j]{Ｃ(ｒ；i,j)(-1)i+jＡr,i+p,j+q(n)}
＝(1-ν)p+qＡr,p,q(n-1)
(２)
ｂpｃq
＝ｂrΔ[i]{p-rＣiνp-r-i(1-ν) i+ｑｂ’iｃ’ｑ}
より
Ａr,p,q(n) ＝Δ[i]{p-rＣiνp-r-i(1-ν) i+qＡr,i,q(n-1) }
です。
下記はＬＭ展開と特性値を比較した表です。
| ｒ | ３ | ４ | ５ | ６ | ７ | ８ |
| Ｄｍａｘ その２ | 7 | 10 | 13 | 16 | 19 | 22 |
| ＭＬ展開 | 7 | 10 | 13 | 16 | 19 | 22 |
| 生成元個数 その２ | 15 | 30 | 46 | 66 | 89 | 116 |
| ＭＬ展開 | 8 | 14 | 21 | 30 | 40 | 52 |
| 漸化式次数 その２ | 6 | 10 | 15 | 21 | 28 | 36 |
| ＭＬ展開 | 4 | 7 | 10 | 14 | 19 | 24 |
(その２)の方法は右辺も左辺も求めるのは簡単ですが、漸化式次数が多いのが欠点です。
これは同じｎにおけるＡr,p,q間の独立でない関係を網羅していないせいです。
上図赤紫領域の最大次数ｄ＝２ｒ−２以下の次数の生成元は、
結局ａ＝１−ｂ−ｃを適当に組み合わせればａ，ｂ，ｃの対称式に変換できるので、ｄ次以下のＭＬ展開で表せます。
つまり独立な生成元の数はＮＥ(２ｒ−２)です。
これはＭＬ展開の結果のＮＥ((3r-2)-r)と同じです。
この関係を入れると漸化式次数を下げることができますが、Ｑの逆行列を求める必要が出てくるので計算量としては得ではないでしょう｡
【例ｒ＝３】
[常に] Ａ３,q,p(n)=Ａ３,ｐ,q(n) ：ｐｑ対称
[1〜4]
Ａ３,３,q(n)＝(1-ν)qＡ３,0,q(n-1) for q=0,1,2,3
[5〜8]
Ａ３,4,q(n)
＝(1-ν)q｛νＡ３,0,q(n-1)＋(1-ν)Ａ３,1,q(n-1) ｝
for q=0,1,2,3
[9〜11]
Ａ３,5,q(n)
＝(1-ν)q｛ν2Ａ３,0,q(n-1)＋2ν(1-ν)Ａ３,1,q(n-1) ＋(1-ν)2Ａ３,2,q(n-1) ｝
for q=0,1,2
[12〜17]
Ａ３,ｐ,q(n)
＝(1-ν)p+qＡ３,p,q(n-1)−｛−３Ａ３,ｐ＋１,q(n)＋
３Ａ３,ｐ＋２,q(n)−Ａ３,ｐ＋３,q(n)−３Ａ３,ｐ,q＋１(n)＋
６Ａ３,ｐ＋１,q＋１(n)−３Ａ３,ｐ＋２,q＋１(n) ＋３Ａ３,ｐ,q＋２(n)
−３Ａ３,ｐ＋１,q＋２(n) −Ａ３,ｐ,q＋３(n) ｝
for (ｐ,ｑ)=(2,2),(2,1),(2,0),(1,1),(1,0),(0,0)
【感想】
実は一番最初に考慮した方向だったのですが、最初は先が見えず途中で挫折し、とんでもない遠回りをしました。
でも、おかげでこの問題に関して先が良く見えるようになり、ふと再検討した時、直ぐに先が見えました。
まさに青い鳥です。