『Math League』

『Math League』解答

◆静岡県　ヨッシー さんからの解答。

【問題１】

1
13		=076923 076923 ・・・
のように、６桁の循環になります。

333 節目の最後の 3 が 小数第1998位なので、
2000 番目は ７ です。

答え　７

【問題２】

図において、
∠Ａ＝∠Ｂ＝７２°、∠Ｃ＝３６°です。

∠Ａの２等分線とＢＣの交点をＤとすると、
　∠ＤＡＢ＝３６°、∠ＡＤＢ＝７２°
より、△ＡＢＣと△ＢＤＡは相似になります。

ＡＣ＝ＢＣ＝ｘ　とおくと、ＤＢ＝ｘ−２
また、ＡＢ＝ＡＤ＝２

辺の比率を表すと、
　ｘ：２＝２：ｘ−２ より、
ｘ（ｘ−２）＝４

ｘ＞０でこれを解くと、
　ｘ＝１＋　・・・　答え

http://www.geocities.co.jp/Playtown-Dice/5061/sansu/pentadraw.htm の下の方もご覧下さい。

◆宮城県　アンパンマン さんからの解答。

【問題１】

1
13		=0.0769230769...

2000＝6*333+2
2000番目＝７

【問題２】

∠A＝ 2π
5

　AC
＝2sin( 2π
5		)/sin( π
5		)
＝4cos( π
5		)
＝＋１

◆石川県　迷える羊 さんからの解答。

【問題１】

１
１３		は、循環小数である。

１
１３
＝ ７６９２３
９９９９９９
＝７６９２３・ ∞

n=1		（１０-6n）
＝０．０７６９２３０７６９２３０７６９２３・・・・

小数点以下１位から６位までの数字が循環している。
小数点以下１９９８位の数字は、「３」となるので、
小数点以下２０００位の数字は、「７」である。

【問題２】

∠ＢＡＣの２等分線とＢＣとの交点を、点Ｄとする。

∠ＣＡＤ＝∠ＢＡＤ＝∠ＢＡＣ／２
　　　　　　　　　＝∠ＡＣＤ　（題意より）

∠ＡＤＢ＝∠ＣＡＤ＋∠ＡＣＤ
　　　　＝２∠ＡＣＤ
　　　　＝∠ＡＢＤ
以上によって、
△ＡＢＤ∽△ＣＡＢ、・・・・＜１＞

△ＤＣＡは、ＤＣ＝ＤＡの２等辺三角形である。・・＜２＞

＜１＞より、ＡＢ：ＢＤ＝ＡＣ：ＡＢ

　ＡＢ×ＡＢ＝ＡＣ×ＢＤ
　　　　　　＝ＡＣ×（ＢＣ−ＣＤ）・・・・＜３＞
＜２＞と題意より、
ＡＢ＝ＡＤ、ＣＤ＝ＡＤ、ＢＣ＝ＡＣ、ＡＤ＝２だから、
ＡＣ×（ＡＣ−ＡＤ）＝ＡＤ×ＡＤ

ＡＣ＝１＋

◆千葉県　小杉　崇夫 さんからの解答。

【問題１】

1
13		は０．０７６９２３０７６９２３・・・・と、
小数点より右以降が０７６９２３と循環小数になっているので
２０００番目は６の倍数のあたりをさぐればよい。
２０００÷６＝３３３余り２なので
０７６９２３が３３３回並んだ後に０７まで記されるので
２０００番目は７である。

【問題２】

∠A＝∠B＝２∠Cであり三角形の内角の和は１８０度であるので
２∠C＋２∠C＋∠C＝１８０度だから、
∠C＝１８０÷５＝３６度となる。

すると∠Aの二等分線とBCとの交点をDとすると、三角形ADCはACを底辺とした二等辺三角形となる。・・・(1)　

題意より、AD＝２だから、(1)よりCD=２となる。

また(1)より、
∠ADC=180度-36度*2=108度となり、∠ADBは72度となる。

よって、三角形ADBも二等辺三角形となり、AB=２となる。

ここでBD=ｘとし、三角形ABCと三角形ABDの比より

（CB:AD＝AB:BD）→2＋ｘ：2=2:x→4=2x+x*xとなり解の公式から
x=-1+（x＞0)だから
AC=BC=CD+DBから、　AC=2-1+=1+

【問題３】

下に凸な放物線になると考えられるので、軸のy座標は２であり
６−２＝４から２−４＝−２から
もうひとつの交点の座標は（０、−２）

◆宮城県　アンパンマン さんからの解答。

【問題３】

(0,2*2-6)=(0,-2)

【問題４】

x2=8y, 2y=x+24
x2-4x-96=0,
x=12,-8, y=18,8

(x,y)=(12,18),(-8,8)

◆東京都　葛衣　奥人 さんからの解答。

【問題１】

1
13		=0.0769230769230762930...　で、
小数点以下は「076923」の繰り返し。
というわけで、小数点以下ｎ位の数字は、ｎを６で割った余りが

１のとき０、２のとき７、３のとき６
４のとき９、５のとき２、０のとき３です。

これにより、小数点以下第2000位は７です。

【問題２】

∠Ａの二等分線とＢＣの交点をＤとすると、
∠Ｂ＝∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ
∠Ａ＝∠Ｂ＝∠ＡＤＢ

これらから　ＡＤ＝ＣＤ＝ＡＢ＝２

また△ＡＢＣと△ＢＤＡは相似

というわけで、ＢＣ：ＡＤ＝ＡＢ：ＢＤ

だから
ＢＤ＋ＣＤ：ＡＤ＝ＡＢ：ＢＤ
ＢＤ＋２：２＝２：ＢＤ
（ＢＤ＋２）×ＢＤ＝４

ＢＤ2＋２Ｂ−４＝０

ＢＤ＞０だからＢＤ＝−１

以上より、ＡＣ＝ＢＣ＝ＢＤ＋ＣＤ＝＋１

【問題３】

この放物線はｘ＝ａ(ｙ−２)2−４と書ける。（ａは実数）
これが（０，６）を通るから、ａ＝ 1
4

ｘ＝０のとき、(ｙ−２)2＝１６　となるが
題意よりｙ≠６なので、ｙ＝−２

答え：（０，−２）

◆島根県の中学校３年生　支離滅裂 さんからの解答。

【問題１】

1/13をし、その解が0.076923…（以後この繰り返し）です。
これは、小数点以下が６桁なので２000/6をして、333余り２です。
これは、333回076923を繰り返し、小数点２個左を意味します。
∴７です。

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